Quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio è un prodotto notevole con cui è possibile sviluppare il quadrato di un polinomio composto da tre termini, e che al contempo fornisce una regola per scomporre lo sviluppo riscrivendolo come quadrato di un trinomio.

 

In questa lezione parleremo del prodotto notevole più mistrattato e più difficile da ricordare: la formula del quadrato di un trinomio! Prima di tutto mostreremo la formula per lo sviluppo del quadrato del trinomio e vedremo come ricavarla con semplici calcoli, dopodiché passeremo a proporvi alcuni esempi e vi metteremo in guardia dagli errori più frequenti che si commettono negli esercizi.

 

Sviluppo del quadrato di un trinomio

 

Siano A, B, C tre monomi non simili e consideriamo il polinomio dato dalla somma dei tre termini, A+B+C, detto anche trinomio.

 

La formula del quadrato di un trinomio è la seguente

 

(A+B+C)^2= A^2+ B^2+ C^2 + 2 AB + 2 BC + 2 AC

 

Non preoccupatevi di impararla a memoria: la userete talmente tante volte da ricordarla automaticamente. Ciò che vi aiuterà sin da subito però, nella risoluzione degli esercizi, è la corrispondente regola espressa a parole.

 

Regola per il quadrato di un trinomio: il quadrato di un trinomio è uguale alla somma dei quadrati dei tre termini più due volte il prodotto del primo per il secondo, più due volte il secondo per il terzo più due volte il primo per il terzo.

 

Da dove deriva la regola del quadrato di un trinomio?

 

Per dimostrare la regola del quadrato di un trinomio utilizziamo la definizione di potenza. Scriviamo il quadrato del trinomio come prodotto tra polinomi:

 

(A+B+C)^2= (A+B+C)(A+B+C)=

 

Effettuiamo il prodotto termine a termine, così da ottenere

 

(A+B+C)(A+B+C)= A^2+ AB+AC+BA+ B^2+ BC+ CA+ CB+ C^2=

 

ed infine sommiamo i monomi simili

 

= A^2+ B^2+ C^2+2AB+ 2 BC+ 2 AC

 

Ecco l'espressione che stavamo cercando. Essenzialmente possiamo vedere il quadrato di un trinomio come un'espressione composta da due parti: la prima in cui compaiono i quadrati dei singoli monomio e la seconda in cui compaiono i doppi prodotti misti!

 

Esempi sul quadrato del trinomio

 

Vediamo insieme un paio di esempi sul quadrato del trinomio, così da fissare le idee. Bisogna avere un po' di pazienza, e come sempre molta molta attenzione al fine di non commettere errori di conto.

 

 

1) Vogliamo calcolare il seguente quadrato di trinomio

 

(x- y+z)^2

 

vale a dire il quadrato del trinomio (x-y+z).

 

Calcoliamo a mente i quadrati dei tre monomi che costituiscono la base della potenza:

 

- il quadrato del primo termine

 

x^2

 

- il quadrato del secondo termine

 

(-y)^2= y^2

 

- il quadrato del terzo termine

 

z^2

 

Ora passiamo ai doppi prodotti misti. Non dimentichiamoci di riportare ciascun monomio con il rispettivo segno:

 

- primo doppio prodotto misto

 

2x(-y)= -2 x y

 

- secondo doppio prodotto misto

 

2(-y) z= -2 y z

 

- terzo doppio prodotto misto

 

2x z

 

Infine sommiamo i prodotti parziali:

 

(x-y+z)^2 = x^2+ y^2+ z^2-2 x y-2 yz +2 x z

 

Ecco, il primo esempio è andato. ;)

 

 

Un altro esempio

 

Passiamo ad un esempio leggermente più elaborato

 

\left(x-\frac{2}{3}y-3 z\right)^2

 

Come sempre cominciamo con i quadrati dei termini:

 

- il quadrato del primo termine

 

x^2

 

- il quadrato del secondo termine

 

\left(-\frac{2}{3}y\right)^2=\frac{4}{9}y^2

 

- il quadrato del terzo termine

 

(-3 z)^2= 9 z^2

 

Adesso i doppi prodotti:

 

- il doppio prodotto del primo per il secondo

 

2x\left(-\frac{2}{3}y\right)=-\frac{4}{3}xy

 

- il doppio prodotto del secondo per il terzo

 

2\left(-\frac{2}{3}y\right)(-3 z)=4yz

 

- il doppio prodotto del primo per il terzo

 

2x(-3z)= -6xz

 

Di conseguenza il quadrato del trinomio è dato da

 

\left(x-\frac{2}{3}y-3z\right)^2= x^2+\frac{4}{9}y^2+9 z^2-\frac{4}{3}xy+4yz-6xz

 

 

Un ultimo esempio

 

Dopo aver svolto un po' di esercizi sul quadrato del trinomio, e dopo aver acquisito un po' di dimestichezza con i calcoli, potremo accelerare il procedimento effettuando tutti i calcoli su un'unica riga.

 

Ad esempio, se volessimo calcolare

 

\left(\frac{1}{2}x y + 2 x+1\right)^2

 

potremmo procedere nel modo seguente

 

\\ \left(\frac{1}{2}x y + 2 x+1\right)^2= \frac{1}{4}x^2 y^2+ 4x^2+1+2\cdot\frac{1}{2}x y\cdot 2x + 2\cdot 2x\cdot 1+ 2\cdot \frac{1}{2}x y \cdot 1=\\ \\ \\ = \frac{1}{4}x^2 y^2+ 4x^2+1+2x^2 y +4x+ x y

 

 

Errori frequenti

 

Il prodotto notevole del quadrato di un trinomio, oltre ad essere un po' più difficile da ricordare, presenta molte insidie. Gli errori di segno la fanno ancora da padrone, e ci si dimentica facilmente dei doppi prodotti. Attenzione anche ai calcoli che coinvolgono le frazioni, perché tra elevamenti al quadrato e doppi prodotti si rischia di dimenticare qualche coefficiente.

 

Scomposizione con il quadrato di un trinomio

 

Leggendo nel verso opposto la formula seguente per il calcolo dello sviluppo di un quadrato di trinomio

 

(A+B+C)^2= A^2+ B^2+ C^2 + 2 AB + 2 BC + 2 AC

 

otterremo una formula utile alla scomposizione dei polinomi:

 

A^2+ B^2+ C^2 + 2 AB + 2 BC + 2 AC = (A+B+C)^2 = (A+B+C)(A+B+C)

 

Ricordiamo infatti che scomporre un polinomio vuol dire trasformarlo nel prodotto di altri polinomi di grado inferiore al grado del polinomio di partenza; procedendo con la formula precedente si riesce proprio a scrivere un polinomio formato da 6 termini come prodotto tra due polinomi di grado inferiore. ;)

 

All'atto pratico, se siamo di fronte ad un polinomio formato da 6 termini, dopo aver effettuato (se possibile) un raccoglimento totale ed aver verificato che non è possibile procedere ad un raccoglimento parziale, possiamo pensare alla tecnica di scomposizione con il quadrato di trinomio, la quale sarà suggerita dalla presenza di tre quadrati preceduti dal segno +.

 

Per scomporre un polinomio dato dallo sviluppo di un quadrato di trinomio dovremo:

 

- individuare i tre termini quadratici e trovarne le basi;

 

- verificare che i tre doppi prodotti tra le basi trovate (prese a due a due) coincidono con termini restanti presenti nel polinomio di partenza;

 

- in caso di esito positivo, scomporremo il polinomio scrivendolo come il quadrato di un trinomio formato dalle basi trovate e prestando attenzione ai segni, i quali saranno suggeriti dal segno di ciascun doppio prodotto.

 

Leggendo con attenzione gli esempi che seguono risulterà tutto più chiaro. ;)

 

 

Esempi di scomposizione con il quadrato di un trinomio

 

Come primo esempio proponiamoci di scomporre il seguente polinomio

 

x^4+y^2+1+2x^2y+2x^2+2y

 

È immediato osservare che non è effettuabile né un raccoglimento totale né un raccoglimento parziale. Poiché siamo di fronte ad un polinomio formato da sei termini, di cui tre sono dei quadrati \left(x^4, \ y^2 \mbox{ e } 1\right), proviamo a vedere se il polinomio dato è lo sviluppo di un quadrato di trinomio.

 

Le basi dei quadrati sono x^2, \ y \mbox{ e } 1. Calcoliamone ora i doppi prodotti

 

\\ 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y \\ \\ 2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2 \\ \\ 2 \cdot y \cdot 1 = 2y

 

Poiché coincidono con i tre termini rimanenti del polinomio di partenza, siamo effettivamente di fronte allo sviluppo del quadrato di trinomio, che potremo scomporre come il quadrato della somma delle basi.

 

x^4+y^2+1+2x^2y+2x^2+2y=(x^2+y+1)^2

 

 

Un altro esempio

 

Quando i termini del polinomio di partenza non sono tutti positivi la tecnica di scomposizione si complica un pochino, perché dobbiamo fare attenzione al segno da anteporre alle basi dei quadrati nella parte finale della scomposizione. A titolo di esempio scomponiamo il seguente polinomio

 

a^2+9b^2+4c^2-6ab-4ac+12bc

 

La presenza di tre termini quadratici \left(a^2, \ 9b^2 \mbox{ e } 4c^2\right) e l'impossibilità di procedere ad un raccoglimento totale o parziale ci suggerisce di verificare che il polinomio dato sia effettivamente lo sviluppo di un quadrato di trinomio.

 

Troviamo quindi le basi dei tre quadrati che sono a, \ 3b \mbox{ e } 2c, e calcoliamone i doppi prodotti

 

\\ 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab \\ \\ 2 \cdot a \cdot 2c = 4ac \\ \\ 2 \cdot 3b \cdot 2c = 12bc

 

Come possiamo osservare essi coincidono, a meno del segno, con i termini restanti del polinomio di partenza e ciò conferma che il polinomio dato è proprio lo sviluppo del quadrato di un trinomio.

 

Nello scrivere la scomposizione, e per trovare il segno da anteporre a ciascuna base, dobbiamo analizzare il segno di ciascun doppio prodotto.

 

-6ab

 

che è dato dal doppio prodotto tra a \mbox{ e } 3b, è preceduto dal segno meno; ciò suggerisce che a \mbox{ e } 3b sono discordi, ossia uno è positivo e l'altro è negativo.

 

-4ab

 

dato dal doppio prodotto tra a \mbox{ e } 2c, è preceduto dal segno meno; pertanto anche a \mbox{ e } 2c saranno discordi, ossia uno positivo e l'altro negativo.

 

12bc

 

ottenuto dal doppio prodotto tra 3b \mbox{ e } 2c, è positivo, quindi 3b \mbox{ e } 2c saranno concordi, cioè entrambi positivi o entrambi negativi.

 

Supponendo, ad esempio, che a sia positivo, per quanto ora osservato avremo che 3b dovrà essere negativo e quindi 2c (concorde con 3b e discorde con a) sarà negativo, pertanto

 

a^2+9b^2+4c^2-6ab-4ac+12bc=(a-3b-2c)^2

 

Invece, supponendo che a sia negativo, per quanto osservato in precedenza 3b dovrà essere positivo e tale sarà anche 2c, quindi

 

a^2+9b^2+4c^2-6ab-4ac+12bc=(-a+3b+2c)^2

 

Come possiamo osservare le due scomposizioni differiscono per il segno dei termini, ma sviluppando i due quadrati di trinomio in entrambi i casi otterrete il polinomio di partenza. Ciò è dovuto al fatto che il quadrato di una qualsiasi quantità (positiva o negativa) è sempre positiva. ;)

 

 


 

Abbiamo finito: se volete esercitarvi con un po' di esercizi svolti, potete cimentarvi con quelli che trovate nella scheda correlata; oltre a questi ce ne sono molti altri su YM, potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Inoltre, potete anche servirvi del tools risolvi espressioni e di quello per la scomposizione dei polinomi.

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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