Prodotto tra somma e differenza di due monomi

La somma per differenza di due monomi, detta anche della differenza di quadrati, è un prodotto notevole che permette di sviluppare senza calcoli il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza, esprimendolo per l'appunto come differenza di due quadrati.

 

La regola della somma per differenza di due monomi è probabilmente il prodotto notevole più semplice da ricordare, ma allo stesso tempo "più difficile" da riconoscere, soprattutto quando si è alle prime armi.

 

Per parlare della formula della differenza di due quadrati partiamo dalla formula nuda e cruda, per poi mostrare come si ricava e diversi esempi di applicazione della regola.

 

Prodotto tra una somma e di una differenza di monomi

 

Consideriamo due monomi non simili A,\ B, la loro somma è il binomio (A+B) e la loro differenza è ovviamente (A-B). Il loro prodotto tra la somma e la differenza dei monomi considerati è dato da

 

(A+B)(A-B)= A^2 - B^2

 

da cui estraiamo la regola generale per lo sviluppo.

 

Regola per il prodotto tra somma e differenza: il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo.

 

 

Da dove nasce la formula della differenza di quadrati

 

Semplice! Per ricavare la regola della differenza di due quadrati, il cui nome deriva dal secondo membro della precedente formula, è sufficiente effettuare il prodotto 

 

(A+B)(A-B)= A^2 -AB+AB- B^2

 

Eliminando i termini opposti rimarrà

 

(A+B)(A-B)= A^2-B^2

 

che è proprio la formula per la differenza di due quadrati.

 

Esempi sulla differenza di quadrati

 

Come primo esempio di applicazione della regola, vogliamo calcolare

 

(2x+y)(2x- y)

 

Esso è un prodotto tra una somma per una differenza di due monomi, 2x\mbox{ e }y e per la relativa regola scriveremo:

 

(2x+y)(2x -y)=4x^2- y^2

 

dove 4x^2 è il quadrato del primo termine, e y^2 è il quadrato del secondo membro.

 

 

Un altro esempio

 

Dai, vediamo un esempio più complicato. Vogliamo determinare

 

(-2x+y)(-2x-y)

 

che è ovviamente una somma per una differenza, con i monomi -2 x\mbox{ e }y.

 

Il quadrato del primo termine è

 

(-2x)^2= 4x^2

 

mentre il quadrato del secondo termine è

 

y^2

 

In definitiva:

 

(-2x + y)(-2x - y)= 4x^2 - y^2.

 

 

Un esempio fondamentale

 

\left(\frac{1}{2}x- 3 y\right)\left(- \frac{1}{2}x -3 y\right)

 

è ancora una somma per una differenza. Osserviamo che in questo caso -3y è il "primo termine" perché è quello che non cambia segno, quindi conviene riscrivere il prodotto nella forma

 

\left(-3y+\frac{1}{2}x\right)\left(-3y-\frac{1}{2}x\right)

 

Ora è facile vedere che ci troviamo di fronte al prodotto tra la somma e la differenza dei monomi -3y,\ \frac{1}{2}x.

 

Il quadrato del primo termine in questo caso è

 

(-3y)^2=9y^2

 

mentre il secondo termine al quadrato è

 

\left(\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2

 

Di conseguenza, la formula per la differenza di quadrati ci dice che

 

\left(-3y+\frac{1}{2}x\right)\left(-3y-\frac{1}{2}x\right)=9y^2-\frac{1}{4}x^2

 

 

Il precedente esempio mette in luce un aspetto molto importante: bisogna tenere a mente che nel prodotto tra una somma e una differenza di monomi c'è sempre un termine che mantiene il segno nei due fattori, dunque esso sarà andrà considerato come il nostro primo termine. ;)

 

 

Ancora un esempio

 

Vogliamo calcolare

 

\left(-x+y\right)\left(x+y\right)

 

Ci chiediamo chi mantiene il segno in entrambi i fattori. In questo caso y ha coefficiente positivo sia in -x+y, sia in x+y. Da ciò deduciamo che esso sarà il nostro primo termine, mentre x sarà il secondo termine.

 

Per la regola del prodotto tra una somma e una differenza di monomi non simili, scriveremo:

 

(-x+y)(x+y)=y^2-x^2

 

 

Errori frequenti

 

Quando si affrontano esercizi sulla differenza di quadrati poco frequentemente si commettono errori di segno. Le problematiche più ricorrenti sono di altre tipologie: chi si accosta per la prima volta allo studio di questo particolare prodotto di norma ha difficoltà nel capire quale sia davvero il primo termine e quale il secondo. L'esercizio continuo colmerà col tempo queste incertezze. ;)

 

Scomposizione della differenza di due quadrati

 

Innanzitutto ricordiamo che scomporre un polinomio vuol dire trasformarlo nel prodotto tra polinomi di grado inferiore al grado del polinomio di partenza, e in questo contesto la formula della differenza di due quadrati riveste una particolare importanza. Leggendo nel verso opposto l'uguaglianza che permette di sviluppare il prodotto tra la somma e la differenza di due monomi

 

(A-B)(A+B)=A^2-B^2

 

si ottiene la formula per la scomposizione di una differenza di due quadrati

 

A^2-B^2=(A-B)(A+B)

 

In parole povere un binomio formato dalla differenza tra due termini quadratici si scompone nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei quadrati dei monomi che formano il polinomio di partenza. 

 

Negli esercizi sulla scomposizione di polinomi, per procedere alla scomposizione di una differenza di quadrati, è sufficiente trovare le basi dei due quadrati per poi scrivere il binomio di partenza come prodotto tra la somma e la differenza delle basi trovate. Tutto qui. ;)

 

 

Esempi di scomposizione della differenza di quadrati

 

Avendo ben presente quanto detto poc'anzi scomponiamo il seguente polinomio

 

9a^2-16b^4

 

Le basi dei due quadrati sono 3a \mbox{ e } 4b^2, pertanto

 

9a^2-16b^4 = (3a+4b^2)(3a-4b^2)

 

 

Un altro esempio

 

Molto spesso, come nell'esempio appena proposto, capiterà di trovare una differenza di quadrati solo alla fine di una scomposizione.

 

xa^4-2xa^2b^2+xb^4

 

Notando la presenza del fattore comune x effettuiamo un raccoglimento totale di tale termine.

 

xa^4-2xa^2b^2+xb^4=x(a^4-2a^2b^2+b^4)

 

Osserviamo che il trinomio a^4-2a^2b^2+b^4 è lo sviluppo di un quadrato di binomio, pertanto

 

xa^4-2xa^2b^2+xb^4=x(a^4-2a^2b^2+b^4)=x(a^2-b^2)^2

 

A questo punto notiamo che a^2-b^2 è proprio una differenza di quadrati, e come tale la scomporremo nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi che sono a \mbox{ e } b.

 

\begin{align*}xa^4-2xa^2b^2+xb^4 & = x(a^4-2a^2b^2+b^4) =\\ & =x(a^2-b^2)^2 = \\ & = x[(a+b)(a-b)]^2 = \\ & = x(a+b)^2(a-b)^2 \end{align*}

 

La scomposizione è conclusa. ;)

 

 

Nota bene

 

Prima dei saluti di rito vi ricordiamo che una somma di quadrati non è scomponibile!

 

 


 

Dubbi o problemi? Su YM ci sono migliaia di esercizi svolti e spiegati e potete trovare tutte le risposte che vi servono con la barra di ricerca interna. E se volete potete anche servirvi del tool risolvi espressioni e di quello per la scomposizione di polinomi per verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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