Cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è un prodotto notevole che consente di sviluppare il cubo di un polinomio composto da due termini, e che viceversa fornisce la regola per scomporre lo sviluppo esprimendolo come cubo di un binomio.

 

La regola del cubo di un binomio rientra nella famiglia dei prodotti notevoli e ricorre con una certa frequenza negli esercizi, siano essi elementari o più avanzati. Vi anticipiamo sin da subito che vi perseguiterà per tutta la carriera scolastica. :) Per questo motivo è bene tenere a mente la relativa formula, la quale permette di risparmiare alcuni passaggi negli esercizi e nelle applicazioni che coinvolgono il calcolo letterale.

 

In questa lezione vedremo qual è la regola da applicare e quali sono le possibili varianti, facendo attenzione agli errori più frequenti e commentando alcuni esempi svolti.

 

Come calcolare il cubo di un binomio

 

Consideriamo un binomio A+B, il cui cubo è (A+B)^3. Per calcolarlo possiamo metterci di buona volontà e sviluppare i prodotti coinvolti, facendo ricorso alla regola per il prodotto tra polinomi

 

\\ (A+B)^3=(A+B)(A+B)(A+B)=(A^2+AB+AB+B^2)(A+B)=\\ \\ =(A^2+2AB+B^2)(A+B)=A^3+A^2B+2A^2B+2AB^2+AB^2+B^3=\\ \\ =A^3+ 3 A^2 B+ 3 A B^2+ B^3

 

Data però la freuenza con cui questo genere di prodotto compare negli esercizi, è bene ricordare direttamente la cosiddetta formula del cubo di un binomio, la quale ci permetterà di risparmiare calcoli, fatica e tempo:

 

(A+B)^3= A^3+ 3 A^2 B+ 3 A B^2+ B^3

 

Più che la formula, è bene imparare a parole la relativa regola per il cubo di un binomio: il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo, più tre volte il primo termine per il quadrato del secondo termine, cui aggiungiamo infine il cubo del secondo termine.

 

Da dove deriva la regola del cubo di un binomio

 

Lo abbiamo già visto sopra: per ricavare la formula del cubo di un binomio basta sviluppare i conti manualmente e arrivare al risultato. In questo contesto ne approfittiamo per darvi un piccolo suggerimento: nel caso non ricordaste la formula del cubo di un binomio, potete ricavarla abbastanza velocemente servendovi della regola del quadrato di un binomio, la quale è ben più facile da tenere a mente.

 

Basta scrivere

 

(A+B)^3= (A+B)(A+B)^2

 

e sviluppare il quadrato

 

(A+B)^3= (A+B) (A+B)^2= (A+B)(A^2+2AB+B^2)

 

A questo punto non resta che moltiplicare i due fattori:

 

(A+B)(A^2+2AB+B^2)=A^3+2A^2B +AB^2+A^2B+2AB^2+B^3

 

ed infine sommare i monomi simili ritroviamo la regola del cubo del binomio:

 

(A+B)^3= A^3+3A^2B+3A B^2+ B^3

 

Cubo di un binomio con segno meno

 

Nel caso in cui dovesse capitarci di sviluppare il cubo di un binomio differenza (A-B)^3, in cui cioè compare il segno meno, possiamo fare affidamento ad una regola di sviluppo del tutto analoga alla precedente

 

(A-B)^3= A^3- 3 A^2 B+ 3 A B^2- B^3

 

Notiamo che questa stessa formula può essere ricavata direttamente dalla formula per il cubo di un binomio con segno positivo, basta infatti scrivere

 

(A-B)^3=(A+(-B))^3

 

e usare la formula vista in precedenza, riscrivendo il secondo termine con il relativo segno negativo

 

\\ (A-B)^3=(A+(-B))^3= A^3+3A^2(-B)+3A(-B)^2+(-B)^3=\\ \\ =A^3- 3 A^2 B+ 3 A B^2- B^3

 

I segni sul cubo del binomio scritto in forma estesa discendono quindi dall'applicazione della regola dei segni per le potenze. :)

 

Esempi sul cubo di un binomio

 

Vediamo un po' di esempi sul cubo di un binomio. Come primo esempio, vogliamo calcolare

 

(2x-3y)^3

 

vale a dire il cubo del binomio (2x-3y). Seguiamo la regola e calcoliamo i singoli termini coinvolti nella formula:

 

- il cubo del primo termine è

 

8x^3

 

- il triplo prodotto del quadrato del primo, per il secondo è

 

3\cdot (2x)^2\cdot (-3y)= 3\cdot (4x^2)\cdot (-3y)=-36x^2y

 

- il triplo prodotto del primo termine, per il quadrato del secondo è

 

3\cdot (2x)\cdot (-3y)^2= 3\cdot (2x)\cdot (9y^2)=54xy^2

 

- il cubo del secondo termine è

 

(-3y)^3= -27y^3

 

Scriveremo quindi

 

(2x-3y)^3=8x^3-36x^2y+54xy^2-27y^3

 

 

Un altro esempio

 

Proviamo a calcolare

 

\left(-\frac{1}{3}x-3y\right)^3

 

e, come al solito, calcoliamo a parte i vari termini che compaiono nella formula. Quando avremo acquisito un po' più di esperienza potremo effettuare il calcolo in un colpo solo (cioè su un'unica riga):

 

- il cubo del primo termine è

 

\left(-\frac{1}{3}x\right)^3=-\frac{1}{27}x^3

 

- il triplo prodotto del quadrato del primo termine, per il secondo è

 

3\cdot \left(-\frac{1}{3}x\right)^2 (-3y)=3\cdot \frac{1}{9}x^2\cdot (-3y)=-x^2y

 

- il triplo prodotto tra il primo termine per il secondo al quadrato è

 

3\cdot \left(-\frac{1}{3}x\right) (-3 y)^2=3\cdot\left(-\frac{1}{3}x\right)\cdot (9y^2)= -9xy^2

 

- il cubo del secondo termine è

 

(-3y)^3= -27 y^3

 

Abbiamo tutti i monomi che ci servono per costruire il cubo del binomio:

 

(-2x-3y)^3= -\frac{1}{27}x^3-x^2y-9xy^2-27y^3

 

 

Un ultimo esempio

 

In cui sono presenti dei monomi di grado superiore ad uno:

 

(x^2- y^3)^3

 

- il cubo del primo termine è

 

(x^2)^3= x^6

 

- il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo è

 

3 (x^2)^2 (-y^3)= -3x^4 y^3

 

- il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo è

 

3(x^2)(-y^3)^2= 3x^2 y^6

 

- il cubo del secondo termine è

 

(-  y^3)^3=-y^9

 

Per la regola del cubo di un binomio scriveremo:

 

(x^2- y^3)^3= x^6 -3 x^4 y^3+ 3 x^2 y^6 - y^9

 

 

Errori frequenti

 

Quando si affrontano esercizi sul cubo di un binomio, i segni sono dei veri e propri killer! Gli errori di segno sono una piaga da debellare e l'unico modo che conosciamo per contrastarla è l'esercizio continuo, accompagnato da una buona dose di attenzione. Inoltre spesso ci si dimentica di moltiplicare per 3 i prodotti, o addirittura non vengono proprio considerati. L'unico consiglio che possiamo darvi è che in generale il cubo di binomio è composto da 4 termini, ed è quindi un quadrinomio.

 

Scomposizione con il cubo di binomio

 

Nel corso di questa lezione abbiamo visto che la formula del cubo di binomio fornisce un quadrinomio dato dalla seguente formula

 

(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

 

Leggendola nel verso opposto otteniamo

 

A^3+3A^2B+3AB^2+B^3=(A+B)^3=(A+B)(A+B)(A+B)

 

In altri termini lo sviluppo del cubo di un binomio fornisce una formula utile per la scomposizione dei polinomi. Ricordiamo infatti che scomporre un polinomio vuol dire scriverlo nel prodotto di altri polinomi di grado inferiore al grado del polinomio di partenza; con la formula precedente abbiamo scritto un quadrinomio nel prodotto di tre polinomi di grado inferiore, ossia lo abbiamo scomposto.

 

Negli esercizi, se dobbiamo scomporre un polinomio formato da 4 termini e che sia scomponibile, dopo aver effettuato il raccoglimento totale ed aver verificato che la tecnica per il raccoglimento parziale fallisce, possiamo provare ad adoperare la tecnica di scomposizione con il cubo di binomio.

 

Per riuscirci dovremo:

 

- verificare che nel quadrinomio di partenza siano presenti due cubi ed in tal caso trovarne le basi;

 

- calcolare il triplo prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda, ed il triplo prodotto tra la prima base ed il quadrato della seconda e verificare che coincidano con gli altri due termini del polinomio di partenza;

 

- in caso di esito positivo saremo effettivamente di fronte ad un quadrinomio che è lo sviluppo di un cubo di binomio, e che potremo scomporre come il cubo del binomio formato dalle basi trovate.

 

Esempi di scomposizione con il cubo di binomio

 

Proponiamoci di scomporre il seguente polinomio

 

x^3y^3-6x^2y^2+12xy-8

 

Si vede immediatamente che non è possibile effettuare né un raccoglimento totale né un raccoglimento parziale. La presenza dei due cubi x^3y^3 \mbox{ e } -8 ci deve subito far pensare ad una scomposizione con il cubo di un binomio.

 

Troviamo allora le basi dei due cubi e procediamo al calcolo dei tripli prodotti, al fine di verificare che coincidano con i restanti due termini -6x^2y^2 \mbox{ e } 12xy del polinomio di partenza.

 

xy \mbox{ e } -2 sono, rispettivamente, le basi dei due cubi x^3y^3 \mbox{ e } -8.

 

Il triplo prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda è

 

3 \cdot (xy)^2 \cdot (-2) = -6x^2y^2

 

mentre il triplo prodotto tra la prima base ed il quadrato della seconda è dato da

 

3 \cdot xy \cdot (-2)^2 = 12xy

 

Come possiamo osservare i monomi trovati coincidono con gli altri due termini del polinomio di partenza, pertanto

 

x^3y^3-6x^2y^2+12xy-8

 

è proprio lo sviluppo del cubo di un binomio, che quindi scomporremo come

 

x^3y^3-6x^2y^2+12xy-8 = (xy-2)^3=(xy-2)(xy-2)(xy-2)

 

 

Un altro esempio

 

54a^{10}b-2ab^7-54a^7b^3+18a^4b^5

 

Procediamo innanzitutto con un raccoglimento totale del fattore 2ab.

 

54a^{10}b-2ab^7-54a^7b^3+18a^4b^5=2ab(27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4)

 

Fatto ciò focalizziamo la nostra attenzione sulla scomposizione del polinomio

 

27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4

 

Non è possibile effettuare un raccoglimento parziale e, guardandolo bene, possiamo osservare che sono presenti due cubi 27a^9 \mbox{ e } -b^6 le cui basi sono 3a^3 \mbox{ e } -b^2. Non facciamoci ingannare dall'ordine con cui sono disposti i vari termini!

 

Il triplo prodotto tra il quadrato della prima base e la seconda è

 

3 \cdot (3a^3)^2 \cdot (-b^2) = -27a^6b^2

 

che coincide con uno dei due termini rimasti del polinomio che stiamo scomponendo.

 

Il triplo prodotto tra la prima base ed il quadrato della seconda è dato da

 

3 \cdot 3a^3 \cdot (-b^2)^2 = 9a^3b^4

 

che è proprio il monomio rimasto. Pertanto

 

27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4=(3a^3-b^2)^3.

 

e possiamo concludere che

 

\begin{align*} 54a^{10}b-2ab^7-54a^7b^3+18a^4b^5 & = 2ab(27a^9-b^6-27a^6b^2+9a^3b^4) = \\ & =2ab(3a^3-b^2)^3 \end{align*}

 

 


 

La lezione si conclude qui: ora tocca a voi! Vi consigliamo di esercitarvi parecchio, e per farlo avete a disposizione una scheda di esercizi svolti correlati nonché un mare di esercizi risolti e spiegati, che potete trovare qui su YM con la barra di ricerca interna.

 

Inoltre potete fare anche buon uso del tool risolvi espressioni e di quello per la scomposizione di polinomi, con i quali potete verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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