Quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio è un prodotto notevole che permette di sviluppare il quadrato di un polinomio con due termini, e viceversa di scomporre lo sviluppo riscrivendolo come quadrato di un binomio.

 

La regola del quadrato del binomio fa parte della famiglia dei prodotti notevoli, cioè quei prodotti che coinvolgono i polinomi e che compaiono spessissimo nelle applicazioni pratiche.

 

Nella spiegazione che segue mostriamo quali sono le due varianti della regola del quadrato di binomio, a seconda che nel binomio compaia il segno positivo o negativo, e proponiamo diversi esempi di applicazione della formula; alla fine della lezione potete anche accedere direttamente agli esercizi svolti e proposti della scheda correlata. ;)

 

Come calcolare il quadrato di un binomio

 

Consideriamo una qualsiasi coppia di monomi A,\ B, e consideriamone la somma, che è ovviamente A+B. Essa è detta binomio perché formata da due monomi non simili. Il quadrato del binomio si ricava con dei semplici calcoli, in accordo con la regola per la moltiplicazione tra polinomi:

 

(A+B)^2= (A+B)(A+B)= A^2+AB+ BA+ B^2= A^2+2AB +B^2

 

Dato che negli esercizi e nelle applicazioni di calcolo letterale capita spesso di dover sviluppare il quadrato di un binomio, questo particolare tipo di prodotto viene considerato come un prodotto notevole e vale la pena di tenere a mente la formula del quadrato di un binomio una volta per tutte

 

(A+B )^2= A^2+ 2 AB+ B^2

 

da cui estrapoliamo la seguente regola.

 

Regola del quadrato di binomio: il quadrato di un binomio coincide con il quadrato del primo termine, più il doppio prodotto del primo termine per il secondo, cui bisogna aggiungere il quadrato del secondo termine.

 

Esempio di sviluppo del quadrato di un binomio

 

Come primo esempio di sviluppo del quadrato di un binomio vogliamo calcolare

 

(a+1)^2

 

cioè il quadrato del binomio (a+1).

 

Per farlo utilizziamo la regola esposta in precedenza

 

\\ (a+1)^2= a^2+2\cdot a\cdot 1+1^2= a^2+2a+1

 

 

Un altro esempio

 

\left(\frac{1}{2}ab + \frac{3}{2}b\right)^2

 

Dato che in questo quadrato di binomio compaiono coefficienti fratti, per non sbagliare calcoliamo i vari termini della formula a parte.

 

Il quadrato del primo termine è

 

\left(\frac{1}{2}a b\right)^2= \frac{1}{4}a^2 b^2

 

Il doppio prodotto del primo termine per il secondo è

 

2\cdot \frac{1}{2}ab\cdot \frac{3}{2}b= \frac{3}{2}a b^2

 

Il secondo termine al quadrato è invece

 

\left(\frac{3}{2}b\right)^2= \frac{9}{4}b^2

 

In definitiva, scriveremo:

 

\left(\frac{1}{2}ab + \frac{3}{2}b\right)^2= \frac{1}{4}a^2 b^2+\frac{3}{2}a b^2+\frac{9}{4}b^2

 

Quadrato di un binomio con segno meno

 

Assieme all'espressione precedente nei libri troviamo un altro prodotto notevole, quello del quadrato di un binomio differenza

 

(A-B)^2= A^2-2AB + B^2

 

A dirla tutta, la regola appena scritta deriva direttamente dalla formula che abbiamo visto all'inizio. Perché? Possiamo scrivere

 

(A-B)^2=(A+(-B))^2

 

così da far apparire la somma di due monomi, che sono appunto A,\ -B, e per la regola del quadrato di binomio scritta precedentemente:

 

(A+(-B))^2=A^2+2 A(-B)+ (-B)^2= A^2-2AB+ B^2

 

Per la legge dei segni il doppio prodotto ha un coefficiente con segno meno.

 

Esempi sul quadrato di un binomio con segno meno

 

Sviluppiamo il seguente quadrato di binomio

 

(-a+1)^2

 

Il quadrato del primo termine è

 

(-a)^2= a^2

 

Il doppio prodotto del primo per il secondo termine è

 

2\cdot (-a)\cdot 1= -2a

 

Il quadrato del secondo termine è

 

1^2= 1

 

In definitiva, la regola per il quadrato del binomio differenza ci dice che

 

(-a+1)^2= a^2-2a +1

 

 

Ancora un esempio

 

Vogliamo calcolare

 

\left(\frac{1}{2}x y- 2 a\right)^2

 

Calcoliamo mentalmente i vari termini che compaiono nella formula del quadrato del binomio:

 

- il quadrato del primo termine:

 

\left(\frac{1}{2}x y\right)^2= \frac{1}{4}x^2 y^2

 

- il doppio prodotto del primo termine per il secondo:

 

2\cdot\frac{1}{2}x y \cdot (-2 a)= -2a x y

 

- il quadrato del secondo termine:

 

(-2a)^2=4a^2

 

Sul quaderno scriveremo quindi

 

\left(\frac{1}{2}x y-2a\right)^2= \frac{1}{4}x^2 y^2-2a xy+4a^2

 

 

Errori frequenti

 

Nella risoluzione degli esercizi in cui bisogna calcolare il quadrato di uno o più binomi gli errori di segno la fanno la padrone e, tendenzialmente, all'inizio molti studenti si dimenticano del doppio prodotto.

 

A questo proposito basta ricordare che il quadrato di un binomio è un trinomio, cioè un polinomio con tre termini. Inoltre, se i termini del binomio sono concordi (cioè hanno lo stesso segno) allora il suo quadrato avrà tutti i coefficienti positivi; se invece i termini del binomio sono discordi (hanno segno opposto) allora dobbiamo ricordarci che il segno del coefficiente del doppio prodotto deve essere negativo.

 

Scomposizione con il quadrato di binomio

 

Scomporre un polinomio vuol dire trasformare il polinomio, ossia una somma algebrica di più monomi, nel prodotto di altri polinomi di grado inferiore al grado del polinomio di partenza.

 

La formula del quadrato di un binomio è una delle tecniche più utilizzate proprio per scomporre i polinomi, perlomeno nei casi in cui essa è applicabile. Vediamo come si procede.

 

Sappiamo più che bene che lo sviluppo di un quadrato di binomio è dato da

 

(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB+B^2

 

Per la proprietà simmetrica dell'uguaglianza possiamo leggere la relazione precedente nel verso opposto, ossia

 

A^2 \pm 2AB+B^2=(A \pm B)^2=(A\pm B)(A \pm B)

 

In questo modo abbiamo scomposto il trinomio A^2+2AB+B^2 scrivendolo come prodotto tra due polinomi di grado inferiore.

 

Nella pratica, per capire se un trinomio è lo sviluppo di un quadrato di binomio occorre:

 

1) individuare tra i termini che formano il polinomio due monomi quadratici e verificare che siano preceduti dallo stesso segno; in tal caso si considerano come potenze con esponente 2 e si procede al calcolo delle relative basi.

 

2) Verificare che il doppio prodotto delle basi trovate sia uguale al restante termine del trinomio.

 

Se le condizioni 1) e 2) sono soddisfatte allora ci troviamo effettivamente di fronte ad un trinomio che è lo sviluppo di un quadrato di binomio, e potremo scomporlo come il quadrato della somma (o della differenza) delle basi. Il segno presente tra le basi dipenderà dal segno del doppio prodotto.

 

Esempi di scomposizione con il quadrato di binomio

 

Come primo esempio di scomposizione di un polinomio con il quadrato di binomio, proponiamoci si scomporre:

 

4x^2-12xy+9y^2

 

È immediato riconoscere i due quadrati 4x^2 \mbox{ e } 9y^2. Entrambi sono preceduti dallo stesso segno, quindi procediamo al calcolo delle relative basi che sono 2x \mbox{ e } 3y.

 

Il loro doppio prodotto è

 

2 \cdot 2x \cdot 3y = 12xy

 

che coincide, a meno del segno, con il termine restante del trinomio di partenza.

 

Pertanto siamo effettivamente di fronte ad un trinomio sviluppo di un quadrato di binomio e, poiché il doppio prodotto è preceduto dal segno meno, lo scomporremo come segue:

 

4x^2-12xy+9y^2=(2x-3y)^2

 

In caso di dubbi nulla ci vieta di verificare il risultato ottenuto sviluppando il quadrato del binomio che abbiamo ricavato. ;)

 

 

Un altro esempio

 

5x^7+20x^4y^2+20xy^4

 

Anzitutto osserviamo che è possibile effettuare un raccoglimento totale del fattore 5x. In generale il raccoglimento totale è, se possibile, la prima tecnica da utilizzare per scomporre un polinomio.

 

5x^7+20x^4y^2+20xy^4=5x(x^6+4x^3y^2+4y^4)

 

Il trinomio tra parentesi ha tutta l'aria di essere lo sviluppo di un quadrato di binomio. Verifichiamolo: abbiamo due termini quadratici che sono x^6 \mbox{ e } 4y^4, le cui basi sono x^3 \mbox{ e } 2y^2.

 

Il loro doppio prodotto è

 

2 \cdot x^3 \cdot 2y^2 = 4x^3y^2

 

che è proprio il termine restante del trinomio che vogliamo scomporre. Quindi

 

5x^7+20x^4y^2+20xy^4=5x(x^6+4x^3y^2+4y^4)=5x(x^3+2y^2)^2

 

 

Osservazione sulla scomposizione di un trinomio

 

Se il trinomio da scomporre non dovesse essere lo sviluppo di un quadrato di binomio, niente paura! Potremo procedere alla scomposizione adoperando uno dei seguenti metodi:

 

- scomposizione del trinomio particolare con somma e prodotto;

 

- scomposizione di un polinomio tramite l'equazione associata;

 

- scomposizione con la regola di Ruffini.

 

La scelta del metodo da preferire dipenderà dalla forma con cui si presenta il polinomio. Nel caso foste agli inizi, non abbattetevi: serve tanto esercizio per riconoscere al volo le tecniche da utilizzare nella scomposizione dei polinomi. ;)

 

 


 

La lezione si conclude qui. La formula che abbiamo visto e tutte le piccole insidie che nasconde non vanno assolutamente sottovalutate quando si effettuano i calcoli, perché hanno la capacità di far crollare interi compiti...

 

Vi consigliamo di fare moltissimi esercizi: potete allenarvi con la scheda di esercizi svolti correlati o, eventualmente, fare una ricerca qui su YM. Ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati! E non solo, ci sono anche due utilissimi tools che vi aiuteranno a verificare i vostri risultati, tra cui quello per la scomposizione di polinomi e il sempreverde risolvi espressioni. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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