Divisione di un polinomio per un monomio

La divisione di un polinomio per un monomio è un'operazione tra polinomi che si calcola dividendo ciascun monomio che costituisce il polinomio per il monomio divisore, in modo ordinato.

 

In questo articolo vedremo come dividere un polinomio per un monomio, operazione che spesso crea enormi disagi negli studenti. Prima di partire con il metodo dovremo però capire quando un polinomio è divisibile per un monomio.

 

Procediamo con calma e attenzione. ;)

 

 

Un polinomio è divisibile per un monomio non nullo se esiste un altro polinomio che, moltiplicato per il monomio stesso, dà il polinomio di partenza. Chiameremo il primo polinomio dividendo, mentre chiameremo monomio divisore il monomio ed il risultato della divisione polinomio quoziente, o quoto.

 

Ad esempio il polinomio 4x^3+8 x^2 è divisibile per il monomio 2x, infatti esiste il polinomio 2x^2+4x che moltiplicato per 2x ci dà il polinomio di partenza:

 

2x(2x^2+4x)=4x^3+8x^2

 

Più semplicemente, possiamo dire che un polinomio è divisibile per un monomio solo se ogni termine del polinomio è divisibile per quel monomio. Affinché tale condizione sia verificata, la divisione tra monomi deve dare come risultato un monomio.

 

Come dividere un polinomio per un monomio

 

Data la precedente premessa possiamo entrare nel vivo della lezione e vedere come si effettua l'operazione di divisione di un polinomio per un monomio.

 

A parole la regola da seguire stabilisce che, se un polinomio è divisibile per un monomio non nullo, allora il quoziente è il polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio di partenza per il monomio.

 

Attenzione: se il polinomio non è divisibile per il monomio, il quoziente non è più un polinomio ma quella che viene chiamata frazione algebrica, detta anche funzione razionale.

 

Esempi sulla divisione di un polinomio per un monomio

 

Vediamo alcuni esempi per capire come dividere un polinomio per un monomio all'atto pratico.

 

(4a-8a^2-6a^3): 2a

 

Dividiamo ciascun termine del polinomio per il monomio così da ottenere i quozienti parziali. In questo modo riusciamo a ridurre la divisione polinomio-monomio ad un gruppo di divisioni tra monomi (in caso di dubbi potete leggere operazioni tra monomi)

 

\\ 4a: 2a= 2\\ \\ -8a^2: 2a= -4a\\ \\ -6a^3:2a=-3a^2

 

In questo frangente è importante riportare i singoli termini del polinomio con il relativo segno, così da applicare correttamente la regola dei segni.

 

Possiamo notare che il monomio divide ciascun termine del polinomio dividendo. A questo punto il polinomio quoziente si ottiene sommando i quozienti parziali, di conseguenza scriveremo

 

(4a-8a^2-6a^3): 2a=2-4a-3a^2

 

 

Un altro esempio

 

\left(ax^3-\frac{1}{2}ax+3ax^2\right):\left(-\frac{1}{2} ax\right)

 

Dividiamo tutti i termini del polinomio per il monomio così da determinare il quozienti parziali

 

\\ ax^3:\left(-\frac{1}{2}a x\right)=-2x^2\\ \\ -\frac{1}{2}ax:\left(-\frac{1}{2}ax\right)=1\\ \\ 3ax^2:\left(-\frac{1}{2}a x\right)=-6x

 

Il polinomio quoziente è dato dalla somma dei quozienti parziali, pertanto

 

\left(ax^3-\frac{1}{2}ax+3ax^2\right):\left(-\frac{1}{2} ax\right)= -2x^2-6x+1

 

 

Un ultimo esempio

 

(ax+2x^2): a x

 

Come sempre cominciamo col determinare i quozienti parziali

 

ax: ax= 1

 

Ora attenzione: la divisione

 

2x^2: ax

 

non restituisce un polinomio perché 2x^2 non è divisibile per ax.

 

Concludiamo quindi che il monomio ax non divide il polinomio ax+2x^2.

 

 

Nota bene: come potete notare la divisibilità del polinomio per il monomio assegnato è una condizione imprescindibile per far sì che l'operazione possa restituire un polinomio.

 

In particolare, nella risoluzione degli esercizi avremo cura di controllare che il polinomio sia divisibile per il monomio cercando di determinare i quozienti parziali, ossia dividendo termine a termine. Così facendo potremo verificare la condizione di divisibilità e, in caso di riscontro positivo, ottenere i quozienti parziali al volo.

 

 

Grado del polinomio quoziente

 

Se il polinomio dividendo è di grado n e il monomio divisore è di grado m, minore o uguale ad n, allora il polinomio quoziente ha grado n-m.

 

Vediamo anche qui un esempio: consideriamo

 

a^2 x+ a x^2

 

che è un polinomio di grado 3, e

 

a x

 

che è un monomio di grado 2.

 

Allora il polinomio quoziente deve avere grado 3-2=1, infatti è dato da:

 

(a^2x+ax^2): ax= a+x

 

 


 

Con questo è tutto. Nelle lezioni successive ci occuperemo del cuore della teoria dei polinomi, trattando i prodotti notevoli in lungo e in largo e imparando ad effettuare la scomposizione di polinomi. Più avanti tratteremo l'ultima operazione che ci resta da prendere in considerazione, vale a dire la divisione tra polinomi, che poi è anche la più impegnativa.

 

Nel frattempo avete tutti gli strumenti necessari per risolvere i vostri problemi, e se volete esercitarvi sulla divisione tra polinomi e monomi potete mettervi alla prova con gli esercizi svolti che trovate qui su YM. Avete una scheda di esercizi correlati, tantissimi altri esercizi risolti che potete reperire con la barra di ricerca interna e anche un tool con cui verificare i vostri risultati: divisione tra polinomi online. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: metodo per dividere un polinomio per un monomio.