MCD e mcm tra monomi

Il MCD tra monomi ed il mcm tra monomi sono rispettivamente il massimo comun divisore di due o più monomi ed il minimo comune multiplo tra due o più monomi. Essi vengono definiti in modo del tutto analogo rispetto al caso numerico. 

 

Prima di passare a parlare dei polinomi è bene imparare a risolvere gli esercizi sul calcolo di MCD e mcm di monomi, in modo da prendere confidenza con i monomi e con le operazioni tra monomi.

 

In questa lezione vedremo come calcolare il massimo comun divisore di monomi e il minimo comune multiplo di monomi; oltre a mostrare la regola generale per il calcolo, proporremo alcuni esempi per entrambi i casi. Naturalmente prima di procedere nella lettura è bene aver presente in cosa consistono il MCD ed il mcm di due o più numeri. ;)

 

MCD di monomi

 

Il massimo comun divisore di due o più monomi è un qualsiasi monomio di grado massimo che divide contemporaneamente tutti i monomi dati!

 

Immaginiamo di avere due monomi. Per calcolarne il MCD prenderemo:

 

- Come parte letterale, la parte letterale formata da tutte e sole le lettere comuni ai monomi, elevate ciascuna al più piccolo esponente che esse hanno nei singoli monomi.

 

- Per il coefficiente dobbiamo fare una piccola distinzione. Se i coefficienti dei monomi sono interi, sceglieremo come coefficiente del massimo comun divisore il massimo comun divisore dei coefficienti dei monomi dati. Se invece i coefficienti dei monomi non sono numeri interi, allora per convenzione si è soliti prendere come coefficiente del massimo comun divisore 1.

 

Esempi sul MCD di monomi

 

Vogliamo calcolare il massimo comun divisore dei monomi

 

3 x^2 y z^4\ \ ;\ \ 18 a x^3 y^3 z^4\ \ ;\ \ 6 x y^3 z^3

 

Le lettere comuni ai tre monomi sono x, y, z, ma quali esponenti dobbiamo scegliere? 

 

- Gli esponenti di x sono 2, 3 e 1: il più piccolo è 1

- Gli esponenti di y sono 1, 3 e 3: il più piccolo è 1

- Gli esponenti di z sono 4, 4 e 3: il più piccolo è 3.

 

Il massimo comun divisore ha quindi come parte letterale x y z^3.

 

I coefficienti dei monomi sono interi, quindi possiamo determinare il loro massimo comun divisore tra 3, 18 e 6. Esso è ovviamente 3.

 

Abbiamo finito, perché abbiamo sia il coefficiente che la parte letterale del monomio massimo comun divisore:

 

MCD(3 x^2 y z^4, \,\,18 a x^3 y^3 z^4,\,\,  6 x y^3 z^3)= 3x y z^3

 

 

Un altro esempio

 

Calcoliamo il massimo comun divisore tra i monomi

 

-\frac{1}{2}a x^2 y^4\ \ ;\ \ 3 a y^2\ \ ;\ \ 2 y^3 z

 

In questo caso l'unica lettera in comune è y e l'esponente da considerare è 2 perché è l'esponente minore.

 

Il coefficiente del MCD è 1 perché non tutti i coefficienti di partenza sono numeri interi. Dunque:

 

MCD\left(-\frac{1}{2}a x^2 y^4,\,\, 3 a y^2\,\, 2 y^3 z\right)= y^2

 

mcm di monomi

 

Il minimo comune multiplo di due o più monomi è definito come un qualsiasi monomio di grado minimo che sia divisibile per tutti i monomi dati.

 

Immaginiamo di avere due monomi. La regola per determinarne il mcm è la seguente:

 

- La parte letterale del mcm si determina prendendo le lettere comuni e non comuni, prese una sola volta, con il massimo esponente.

 

- Per il coefficiente del mcm, se i coefficienti dei monomi dati sono interi, allora calcoleremo il loro minimo comune multiplo. Se invece i coefficienti dei monomi non sono interi, allora prenderemo come coefficiente del minimo comune multiplo il nostro amico 1.

 

Esempi sul mcm di monomi

 

Qualche esempio giusto per comprendere come applicare la regola di calcolo del mcm tra monomi.

 

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra

 

x y\ \ ;\ \ -2 a x^2 y^2\ \ ;\ \ 3 x y

 

Per parte letterale, dobbiamo prendere le lettere comuni e non comuni con il massimo esponente, in questo caso: a x^2 y^2.

 

Come coefficiente prenderemo il minimo comune multiplo tra 1, 2, 3 che è 6. Abbiamo già finito:

 

mcm(xy,\, -2ax^2y^2,\, 3x y)= 6 a x^2 y^2

 

 

Un altro esempio

 

Vogliamo calcolare il mcm dei monomi

 

\frac{1}{2}x\ \ ;\ \ \frac{1}{3} y\ \ ;\ \ -\frac{3}{2}x y z^2

 

La parte letterale del minimo comune multiplo è formata dalle lettere comuni e non comuni prese con il massimo esponente, dunque  xy z^2. Il coefficiente del minimo comune multiplo invece è 1 perché i coeffcienti dei monomi dati non sono interi! 

 

 


 

Tutto chiaro? Se volete allenarvi un po', potete dare un'occhiata alle tonnellate di esercizi che abbiamo risolto e spiegato qui su YM. Inoltre avete a disposizione due tool per verificare i risultati degli esercizi che dovete svolgere per casa: MCD di polinomi online e mcm di polinomi online, provare per credere! ;)

 

 

In bocca al lupo

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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