Prodotto tra polinomi

Il prodotto tra polinomi è un'operazione tra polinomi che si calcola moltiplicando ogni singolo monomio del primo polinomio per ciascun monomio del secondo polinomio, ordinatamente e tenendo conto dei rispettivi segni.

 

In questa lezione spiegheremo come effettuare la moltiplicazione tra polinomi qualsiasi, partendo innanzitutto dalla definizione formale, dopodiché ci butteremo a capofitto sugli esempi e commenteremo i vari passaggi da effettuare, evidenziando i punti più delicati e quelli che spesso inducono in errore. ;)

 

Come vedremo tra un attimo, si tratta di un'operazione un po' più elaborata rispetto alla somma ed alla differenza, ed il calcolo esplicito si basa sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

 

Prodotto tra due polinomi

 

Il prodotto tra due polinomi è ancora un polinomio che ha come termini tutti i prodotti parziali che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

 

Esempi svolti sul prodotto tra polinomi

 

Cominciamo con un semplice esempio commentato. Vogliamo calcolare il seguente prodotto

 

(2a+b)(a-b+2)

 

Innanzitutto osserviamo che entrambi i polinomi sono ridotti in forma normale, in caso contrario avremmo dovuto portarli alla forma normale.

 

Possiamo quindi procedere alla moltiplicazione: il primo polinomio è formato da due addendi, 2a,\ b. Prendiamo il primo termine e moltiplichiamolo per tutti i termini del secondo polinomio, in pratica dobbiamo applicare il metodo che abbiamo visto per il prodotto tra un monomio ed un polinomio

 

2a (a-b+2)= 2a\cdot a+2a(-b)+2a\cdot 2= 2a^2-2ab+4a

 

Quello che abbiamo appena scritto è il primo prodotto parziale.

 

Ora passiamo a moltiplicare il secondo termine del primo polinomio per il secondo polinomio

 

b(a-b+2)=  b\cdot a+ b(-b)+2 b= ab-b^2+2b

 

e questo è il secondo prodotto parziale.

 

A questo punto sommiamo i prodotti parziali, niente di più e niente di meno che una somma tra polinomi:

 

(2a+b)(a-b+2)=2a^2-2ab+4a+(ab-b^2+2b)

 

ossia

 

2a^2-2ab+4a+ab-b^2+2b

 

Non dimentichiamoci di sommare e sottrarre i monomi simili che costituiscono il prodotto, in modo da ridurre il risultato in forma normale

 

2a^2-ab+4a+2b-b^2

 

Ed è fatta!

 

 

Un altro esempio

 

Ora vediamo di calcolare un prodotto tra polinomi un po' più delicato:

 

(1-a+ a^3)(x+2x^2+x^3)

 

Il primo polinomio ha tre termini 1,\ -a,\ a^3. Determiniamo i prodotti parziali seguendo la regola che abbiamo visto in precedenza, e riportando i segni di ciascun termine che moltiplichiamo per il secondo polinomio

 

\\ 1\cdot (x+2x^2+x^3)= x+2x^2+x^3\\ \\ {\color{red}-a} (x+2x^2+x^3)=(-a)x+(-a)\cdot 2 x^2+(-a)x^3=-ax-2ax^2-ax^3\\ \\ a^3 (x+2x^2+x^3)= a^3 x+a^3\cdot 2x^2+a^3 x^3= a^3 x+2 a^3 x^2+a^3x^3

 

Sommiamo i prodotti parziali, così da ottenere:

 

(1-a+a^3)(x+2x^2+x^3)=

=x+2x^2+x^3+(-ax-2ax^2-ax^3)+(a^3x+2a^3x^2+a^3x^3)

 

ossia

 

x+2x^2+x^3-ax-2ax^2-ax^3+a^3x+2a^3x^2+a^3x^3

 

In questo caso il polinomio è già ridotto in forma normale, quindi non dobbiamo fare nient'altro. 

 

 

Un ultimo esempio per avere le idee ben chiare

 

(1+x-3x^2+x-2x)(a+a^2-3a+2a+1)

 

In questo caso i due polinomi fattori non sono ridotti in forma normale, quindi per risparmiare conti e fatica sommiamo i termini simili

 

(1-3x^2)(a^2+1)

 

a questo punto procediamo con la solita regola

 

(1-3x^2)(a^2+1)=(a^2+1)+(-3a^2 x^2-3x^2)=a^2+1-3a^2x^2-3x^2

 

Il polinomio risultante è ridotto in forma normale, quindi abbiamo terminato. 

 

 

Cerchiamo di riassumere i vari passaggi del metodo per calcolare il prodotto tra polinomi:

 

1) ridurre in forma normale i polinomi fattori;

 

2) moltiplicare a parte i singoli monomi del primo polinomio (ciascuno con il proprio segno) per tutti i termini del secondo polinomio, così da ottenere i prodotti parziali;

 

3) sommarre i prodotti parziali.

 

Con la giusta esperienza e con una buona dose di allenamento potremo effettuare il calcolo più velocemente senza dover calcolare i prodotti parziali a parte, e scrivendo tutti i passaggi in un'unica riga. A ben vedere è proprio ciò che abbiamo fatto nel terzo esempio. ;)

 

 

Errori frequenti

 

Gli errori che si commettono negli esercizi sul prodotto tra polinomi sono molteplici. Tra questi, i soliti errori di conto e di segno; è importante applicare correttamente la regola dei segni e riportare sempre tutti i segni dei termini con cui si lavora, a costo di fare un abbondante uso delle parentesi tonde.

 

Inoltre può capitare infatti di dimenticarsi per strada qualche termine. Esiste però una piccola regola, da tenere a mente: immaginando di avere due polinomi ridotti in forma normale, di cui uno con n termini e l'altro con m termini, allora il polinomio prodotto avrà n\times m termini.

 

Grado del polinomio prodotto

 

Consideriamo due polinomi, uno di grado n e l'altro di grado m allora il grado del polinomio prodotto è dato dalla somma dei gradi dei polinomi fattori, cioè n+ m

 

Il motivo è presto detto. Poiché il grado di un polinomio è per definizione il massimo grado dei monomi che lo compongono, il grado del polinomio prodotto è dato dalla somma dei gradi dei monomi di grado massimo dei due polinomi fattori.

 

E perché il grado del polinomio prodotto è la somma e non il prodotto dei gradi dei due fattori? Un indizio: proprietà delle potenze... ;)

 

 


 

Abbiamo finito! Se volete esercitarvi c'è una scheda di esercizi svolti che vi aspetta, oltre a tutti gli altri esercizi risolti che sono presenti su YM e che potete recuperare direttamente con la barra di ricerca interna! Per di più, nel caso voleste verificare i risultati degli esercizi che dovete risolvere per casa, potete usare il tool per risolvere le espressioni online. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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