Prodotto tra un monomio e un polinomio

Il prodotto di un monomio per un polinomio è un'operazione tra polinomi il cui risultato si calcola moltiplicando ordinatamente il monomio per tutti i monomi che costituiscono il polinomio.

 

In questa lezione vedremo come effettuare la moltiplicazione tra un monomio e un polinomio il cui calcolo si basa essenzialmente sulla proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, che certamente avrete incontrato quando avete imparato le operazioni con i numeri.

 

Come al solito partiremo dalla definizione a parole, che potrebbe risultare di difficile digestione. Successivamente però passeremo a diversi esempi ed esercizi commentati passo passo, mettendo in luce tutti i singoli passaggi da effettuare ed evidenziando i punti delicati in cui spesso e volentieri si commettono errori.

 

Come calcolare il prodotto tra un monomio e un polinomio

 

Il prodotto tra un monomio ed un polinomio è ancora un polinomio che si compone di tutti i prodotti (detti prodotti parziali) ottenuti moltiplicando ciascun termine del polinomio per il monomio dato.

 

Le definizioni hanno la brutta abitudine di non essere chiare alla prima lettura, perciò cercheremo di fare qualche esempio per spiegare come svolgere questo tipo di operazione.

 

Esempi sul prodotto tra un monomio ed un polinomio

 

Vogliamo calcolare il prodotto tra il monomio a e il polinomio a+b.

 

La prima cosa da fare consiste nell'impostare il prodotto, riportando il polinomio rigorosamente tra parentesi tonde

 

a\cdot(b+c)

 

Controlliamo subito che il polinomio sia ridotto in forma normale, e se non lo fosse procediamo a scriverlo in tale forma. Nel nostro caso il polinomio è già in forma normale, quindi possiamo procedere.

 

Il prossimo passo è quello di moltiplicare il monomio a per ciascun addendo del polinomio b+c.

 

Otterremo così i prodotti parziali ab,\ ac. Sommando i prodotti parziali otteniamo

 

a\cdot (b+c)= ab+ ac

 

 

Ancora un esempio

 

In questo caso un po' più elaborato del precedente, vogliamo calcolare il seguente prodotto monomio per polinomio

 

-2a x(1- x-a)

 

Anche in questo caso il polinomio è ridotto in forma normale, per cui possiamo procedere con il passaggio successivo.

 

Moltiplichiamo -2ax per ciascun termine di 1-x-a in modo da ottenere i prodotti parziali. Attenzione ad applicare correttamente la regola dei segni:

 

\\ -2a x \cdot 1= -2ax\\ \\ -2ax\cdot (-x)= 2ax^2\\ \\ -2a x\cdot (-a)= 2a^2x

 

Sommando i prodotti parziali giungiamo finalmente al risultato:

 

-2ax(1-x-a)= -2a x + 2a x^2+ 2a^2 x

 

 

Un altro esempio

 

Vogliamo determinare il prodotto tra il monomio -x ed il polinomio x^2+3x^2+x-1.

 

-x(x^2+3x^2+x-1)

 

In questo caso il polinomio non è ridotto in forma normale, ma sommando i termini simili otterremo:

 

-x(4x^2+x-1)

 

Moltiplichiamo il monomio per ogni singolo termine del polinomio, applicando ovviamente la proprietà distributiva e prestando attenzione ai segni:

 

-x(4x^2+x-1)= (-x) 4x^2+ (-x)x+ (-x)(-1)=-4x^3-x^2+x

 

 


 

 

Possiamo riassumere il procedimento per calcolare il prodotto tra un monomio e un polinomio nei seguenti passaggi:

 

1) ridurre in forma normale il polinomio;

 

2) moltiplicare il monomio per tutti i termini del polinomio, così da ottenere i prodotti parziali (e qui intervengono spesso e volentieri le proprietà delle potenze);

 

3) sommarre i prodotti parziali.

 

 

Errori frequenti

 

Gli errori più comuni sono i soliti errori di conto e di segno. A questi si aggiunge un terzo errore tipico: ogni tanto capita di dimenticare qualche prodotto parziale. Raccomandiamo attenzione, controllate sempre il passaggio appena effettuato prima di procedere al successivo.

 

Grado del prodotto tra un monomio e polinomio

 

Il prodotto tra un monomio e polinomio è il polinomio che ha per grado la somma tra il grado del monomio e del grado del polinomio.

 

Un esempio rapidissimo:

 

\sqrt{2}x^2 y

 

è un monomio di grado tre, mentre

 

xy+x^2+1

 

è un polinomio di grado 2. Il loro prodotto è

 

\sqrt{2}x^3 y^2+ \sqrt{2}x^4 y+\sqrt{2}x^2 y

 

che è un polinomio di grado 5.

 

 


 

Ragazze e ragazzi, ora tocca a voi! Provate a risolvere qualche esercizio per verificare di aver digerito correttamente le regole appena esposte. Potete servirvi della scheda di esercizi svolti correlati, ed eventualmente usare la barra di ricerca interna: su YM ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati dallo Staff. Inoltre potete sempre usare il tool per le espressioni online per controllare i risultati dei vostri compiti per casa. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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