Differenza tra polinomi

La differenza tra due polinomi è un'operazione tra polinomi in cui, detti minuendo il primo polinomio e sottraendo il secondo, il risultato si ottiene calcolando la differenza tra i monomi simili del minuendo e del sottraendo.

 

La definizione formale di differenza di due polinomi richiede la conoscenza dell'operazione di somma di polinomi, di cui abbiamo parlato nella lezione precedente. Come vedremo tra pochissimo non ci sono sostanziali variazioni nel metodo, a meno di un piccolo passaggio che spesso conduce in errore, a causa della distrazione. :(

 

Prima di tutto partiamo dal metodo generale per calcolare la differenza tra polinomi, espresso a parole, per poi applicarlo in lungo e in largo in alcuni esempi.

 

Differenza tra due polinomi

 

La differenza di due polinomi è per definizione il polinomio che si ottiene sommando al primo, detto polinomio minuendo, l'opposto del secondo, detto polinomio sottraendo.

 

Avete notato? Nella definizione di differenza tra polinomi abbiamo coinvolto la somma tra polinomi, questo perché se ci pensiamo bene la sottrazione tra polinomi "non esiste", nel senso che possiamo vederla come la somma tra un minuendo e l'opposto del sottraendo:

 

\mbox{minuendo}-\mbox{sottraendo}

 

è la stessa cosa di

 

\mbox{minuendo}+(-\mbox{sottraendo})

 

Come calcolare la differenza tra due polinomi

 

Per imparare il metodo per calcolare la differenza di polinomi procediamo con un esempio commentato, in modo da poter analizzare tutti i singoli passaggi da seguire.

 

Vogliamo calcolare la differenza tra i polinomi

 

\frac{2}{3}ab + 5 a^2 + a\ \ \ ;\ \ \ \frac{2}{3}ab -3 a+1.

 

Impostiamo quindi la differenza. Qui è fondamentale riportare il polinomio sottraendo tra parentesi!

 

\overbrace{\frac{2}{3}ab+ 5 a^2+ a}^{\mbox{minuendo}}- \overbrace{\left(\frac{2}{3}ab-3 a +1\right)}^{\mbox{sottraendo}}

 

Togliamo le parentesi cambiando tutti i segni del polinomio sottraendo, in accordo con la regola dei segni. State molto attenti a questo passaggio e ricontrollatelo sempre prima di procedere:

 

\frac{2}{3}ab+ 5 a^2+ a-\frac{2}{3}ab+3 a -1

 

Sottolineamo in modo diverso i gruppi di monomi simili:

 

\underline{\frac{2}{3}ab}+ 5 a^2+ \underline{\underline{a}}-\underline{\frac{2}{3}ab}+\underline{\underline{3 a}} -1

 

e riduciamo i termini simili calcolandone le eventuali somme e differenze (in caso di dubbi, vedi operazioni tra monomi)

 

\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\right)ab+ 5 a^2+(1+3)a-1

 

Effettuando i conti dentro le parentesi otteniamo

 

5 a^2+4a -1

 

ed ecco fatto!

 

 

Un altro esempio

 

Vogliamo calcolare la differenza tra i polinomi

 

x^2-x- 1\ \ \ ;\ \ \ x^3-3 x^2-x +1

 

Impostiamo la sottrazione riportando il polinomio sottraendo tra parentesi tonde

 

x^2-x-1-(x^3-3x^2-x+1)

 

Ora togliamo le parentesi, ricordandoci di cambiare tutti i segni del polinomio sottraendo

 

x^2-x-1-x^3+3x^2+x-1

 

Sottolineamo i gruppi di termini simili

 

\underline{x^2}-\underline{\underline{x}}-\underline{\underline{\underline{1}}}-x^3+\underline{3x^2}+\underline{\underline{x}}-\underline{\underline{\underline{1}}}

 

e procediamo con le varie somme e differenze

 

(1+3)x^2-x^3+(-1+1)x+(-1-1)= -x^3+4x^2-2

 

e ci siamo!

 

 

Errori frequenti

 

Errori tipici che si commettono negli esercizi sulla differenza tra due polinomi sono quelli di conto e soprattutto gli errori di segno. Vi raccomandiamo di prestare molta attenzione e controllate sempre i vari segni, passaggio per passaggio.

 

Grado del polinomio differenza

 

La differenza di due polinomi è un polinomio il cui grado è minore o uguale del più grande dei gradi dei polinomio di partenza.

 

Esattamente come nel caso della somma, è facile immaginare che il grado del polinomio differenza possa coincidere con quello del minuendo e del sottraendo. Dobbiamo però tenere conto che i termini di grado massimo, ossia quelli che individuano i gradi complessivi dei polinomi coinvolti, potrebbero cancellarsi a vicenda.

 

Un esempio renderà tutto sicuramente più chiaro:

 

a x^2+ 2 x +1

 

è un polinomio di grado 3, così come

 

ax^2+1

 

è un polinomio di grado 3. Il polinomio differenza è

 

a x^2+2x+1-(ax^2+1)= ax^2+2x+1-ax^2-1= 2x

 

e come potete vedere ha grado 1, che è minore del grado dei polinomi di partenza.

 

 


 

Adesso tocca a voi! Se volete esercitarvi lo potete fare con gli esercizi svolti che trovate su YM, a partire dalla scheda di esercizi svolti correlati ed eventualmente usando la barra di ricerca interna. E se poi voleste controllare i risultati degli esercizi che dovete svolgere per casa, il tool per risolvere le espressioni online fa proprio al caso vostro. ;)

 

 

In bocca al lupo

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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