Grado di un polinomio

Il grado di un polinomio, detto anche grado complessivo del polinomio, è il massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio. Il grado di un polinomio rispetto ad una lettera è invece il massimo grado dei monomi rispetto alla lettera considerata.

 

L'argomento che trattiamo qui di seguito genera di solito molte insicurezze negli studenti del primo anno delle scuole superiori, e non solo a dire il vero. Ci sono alcuni studenti universitari che ancora hanno qualche titubanza. Nessun problema: in questa lezione chiariremo una volta per tutte che cos'è il grado di un polinomio e quali sono le possibili varianti.

 

Come abbiamo già anticipato, per cominciare dobbiamo fare un piccolissimo distinguo. Non esiste un unico grado associato ad un polinomio e se ne possono definire due tipologie: grado complessivo di un polinomio e grado di un polinomio rispetto ad una lettera. Per cominciare daremo quindi le relative definizioni e proporremo un esempio dettagliato onde evitare qualsiasi possibile fraintendimento.

 

Grado complessivo di un polinomio VS grado di un polinomio rispetto a una lettera

 

Consideriamo un polinomio ridotto in forma normale e non nullo. Diamo le seguenti definizioni:

 

- grado complessivo di un polinomio come il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono;

 

- grado di un polinomio rispetto ad una lettera come il massimo dei gradi dei suoi monomi rispetto alla lettera in questione.

 

Attenzione: ci rendiamo conto che le definizioni sembrano simili, ma non è così e il seguente esempio metterà in evidenza le differenze.

 

Esempi sul grado di un polinomio

 

Consideriamo il polinomio

 

\frac{1}{2}x y^2 z+ x y^2+ 3 yz+1

 

e studiamo il grado di ciascun monomio.

 

Il grado del monomio \frac{1}{2}x y^2 z è dato dalla somma degli esponenti delle lettere che compaiono in esso: 1+2+1= 4.

 

Con un ragionamento simile possiamo vedere che:

 

- il grado del monomio x y^2 è 3;

 

- il grado del monomio 3 x y è 2;

 

- il grado del monomio 1 è 0.

 

Il grado del polinomio (si può omettere l'aggettivo complessivo) è 4 perché 4 è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono!

 

 

Ci chiediamo ora qual è il grado del polinomio rispetto alla lettera x e per determinarlo calcoliamo i gradi rispetto alla lettera x dei monomi che compaiono nel polinomio:

 

- il grado del monomio \frac{1}{2}x y^2 z rispetto alla lettera x è 1;

 

- il grado del monomio x y^2 rispetto alla lettera x è 1

 

- il grado del monomio 3x y rispetto alla lettera x è 1

 

- il grado del monomio 1 rispetto alla lettera x è 0.

 

Il grado del polinomio rispetto alla lettera x è quindi 1 perché 1 è il massimo dei gradi dei monomi rispetto alla variabile x.

 

 

E quale sarà il grado del polinomio rispetto alla lettera y? Procediamo come prima, solo che lavoreremo rispetto alla lettera y:

 

- il grado del monomio \frac{1}{2}x y^2 z rispetto alla lettera y è 2

 

- il grado del monomio x y^2 rispetto alla lettera y è 2

 

- il grado del monomio 3x y rispetto alla lettera y è 1

 

- il grado del monomio 1 rispetto alla lettera y è 0.

 

dunque il grado del polinomio rispetto alla lettera y è 2.

 

 

Procedendo nello stesso identico modo per la lettera z scopriremo che il grado del polinomio rispetto alla lettera z è 1.

 

 

In definitiva possiamo concludere che:

 

\frac{1}{2}x y^2 z+ x y^2+ 3 yz+1

 

- è di quarto grado (complessivamente)

 

- è di primo grado rispetto alla lettera x

 

- è di secondo grado rispetto alla lettera y

 

- è di primo grado rispetto alla lettera z.

 

Grado di un'equazione polinomiale

 

Per concludere, anticipiamo che la nozione di grado di un polinomio è molto importante anche perché permette di definire il grado di un'equazione, a patto che essa sia definita mediante un polinomio.

 

Ad esempio, se consideriamo l'equazione

 

x^2+7x+3=0

 

possiamo concludere subito che essa è un'equazione di secondo grado perché il polinomio che definisce il membro non nullo è di grado 2.

 

Ad ogni modo approfondiremo la questione più avanti, quando tratteremo le equazioni. ;)

 


 

Tutto chiaro? Se ci fossero punti oscuri, potete fare una bella ricerca qui su YM, abbiamo trattato più volte questo argomento; inoltre c'è anche una scheda di esercizi svolti correlati e, in caso di necessità, un tool per determinare il grado di un polinomio online.

 

 

In bocca al lupo

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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