Monomi

I monomi sono espressioni matematiche costituite dal prodotto tra una parte numerica ed una parte letterale, in cui la parte numerica del monomio è un qualsiasi numero mentre la parte letterale è costituita dal prodotto di potenze con base letterale ed esponente intero positivo.

 

In questa lezione introduttiva parliamo dei monomi. I monomi sono tra le prime espressioni matematiche che si incontrano a scuola e possiamo considerarli come i mattoncini della Matematica su cui si fonda buona parte dell'Algebra, perché servono sostanzialmente a costruire tutti i possibili polinomi.

 

Qui di seguito imposteremo il discorso proponendovi tutte le definizioni sui monomi che bisogna imparare sin da subito (per citarne una, la definizione di monomi simili). Nelle lezioni successive vedremo poi come comportarsi nella pratica e come svolgere le varie operazioni con i monomi, mentre a fine lezione potrete accedere direttamente alla scheda di esercizi svolti correlati. ;)

 

Definizione di monomio

 

Un monomio è un'espressione matematica che consiste in un prodotto di fattori qualsiasi, siano essi numerici o letterali. I fattori letterali hanno per esponente un numero naturale.

 

Un esempio?

 

4x^2

 

Il fattore numerico (4) prende il nome di coefficiente o parte numerica, mentre il fattore letterale (x2) costituisce la cosiddetta parte letterale.

 

La definizione di monomio presenta tre diversi ingredienti:

 

1) la parte numerica può essere costituta da un qualsiasi numero;

2) la parte numerica deve essere moltiplicata per la parte letterale;

3) nella parte letterale possono esserci solamente moltiplicazioni.

 

Non a caso il termine monomio deriva dalla fusione delle parole greche monos=unica e nomé= legge, giusto a sottolineare il fatto che l'unica "legge" che compare in essi è il prodotto.

 

Attenzione, non fatevi fregare: le potenze sono particolari moltiplicazioni in cui i fattori coincidono con la base, quindi rientrano perfettamente nella regola della definizione.

 

Esempi sui monomi

 

La definizione è piuttosto semplice e non dovrebbe spaventarci, ma per toglierci ogni possibile dubbio conviene vedere subito una carrellata di esempi sui monomi:

 

3 x^2 y z^3

 

è un monomio in cui 3 è il coefficiente numerico mentre x^2y z^3 è la parte letterale.

 

- a b c

 

è un monomio che ha per coefficiente numerico -1 (che è un numero relativo) mentre a bc è la parte letterale.

 

\frac{1}{7} x^2 z

 

è ancora un monomio! Il coefficiente numerico è \frac{1}{7} (che è un numero razionale) mentre la parte letterale è x^2 z.

 

\sqrt{3}x

 

è un monomio con parte numerica \sqrt{3} (che è un numero irrazionale) mentre la parte letterale è x.

 

\frac{4}{7}

 

è un monomio! Anche se la parte numerica sembra non esserci, in realtà è una qualsiasi lettera con esponente zero, che quindi vale 1. Il coefficiente è \frac{4}{7}.

 

3a+ b c

 

non è un monomio, perché l'espressione non si può scrivere come prodotto tra una parte numerica e una parte letterale.

 

- a b c^{-2}

 

non è un monomio, perché l'esponente della lettera c è negativo.

 

5\frac{xy}{z}

 

non è un monomio, perché sfruttando la definizione di potenza con esponente negativo possiamo riscriverlo nella forma 5xyz^{-1}, da cui si vede che l'esponente di z è negativo e quindi non è un numero naturale.

 

4\sqrt{x}yz

 

non è un monomio perché equivale a 4x^{\frac{1}{2}}yz, e l'esponente di x non è intero (positivo).

 

 

Attenzione: dai precedenti esempi abbiamo scoperto che, in accordo con la definizione, i soli e semplici numeri sono un caso particolare di monomi.

 

Monomi ridotti in forma normale

 

Un monomio si dice ridotto in forma normale se si scrive come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali di basi diverse.

 

Ad esempio

 

3\cdot\frac{ 1}{4}x\cdot x\cdot y\cdot z

 

non è ridotto in forma normale e per ridurlo in forma normale dovremo moltiplicare in modo opportuno così da ottenere \frac{3}{4}x^2 y z.

 

Grado complessivo di un monomio e grado di un monomio rispetto a una lettera

 

Una volta capito cos'è un monomio scritto in forma normale, interviene il concetto di grado di un monomio in senso generale e di gradi di un monomio rispetto alle varie lettere.

 

Grado del monomio rispetto ad una lettera: è l'esponente della lettera nel monomio.

 

Grado complessivo del monomio: è la somma degli esponenti di tutte le lettere che compaiono nel monomio. 

 

Non è affatto difficile determinare i gradi di un monomio, ma purtroppo, per qualche strano motivo :P a volte gli studenti hanno difficoltà in merito. Riportiamo un semplice esempio.

 

x^3 y z^2

 

è un monomio ridotto in formale, inoltre:

 

3 è il grado del monomio rispetto alla lettera x

1 è il grado del monomio rispetto alla lettera y

2 è il grado del monomio rispetto alla lettera z

3+1+2=6 è il grado complessivo del monomio.

 

Al monomio nullo non attribuiamo nessun grado, mentre i singoli numeri (che sono monomi se presi singolarmente) hanno grado 0.

 

Ora attenzione, dobbiamo introdurre dei concetti fondamentali che ritorneranno ciclicamente nella vita di uno studente.

 

Monomi simili

 

Dati due monomi ridotti in forma normale, chiamiamo monomi simili due monomi che hanno la stessa parte letterale.

 

Ad esempio

 

x y^2 z\ \ \ ;\ \ \ \frac{3}{2} x y^2 z

 

sono monomi simili perché hanno la stessa parte letterale, così come sono monomi simili a b^2\ ;\ -3a b^2.

 

Monomi uguali

 

Dati due monomi ridotti in forma normale, definiamo monomi uguali due monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale, come ad esempio

 

4 x^2 y z\ \ \ ;\ \ \ 4 x^2 y z

 

Monomi opposti

 

Diciamo che due monomi in forma normale sono monomi opposti se sono simili e se hanno i coefficienti numerici opposti!

 

Sono un esempio di monomi opposti

 

3a b c^2\ \ \ ;\ \ \ -3a b c^2

 

 


 

Impariamo per bene questi nuovi concetti perché permettono di definire le operazioni con i monomi, di cui parliamo nella prossima lezione. Qui abbiamo finito, ma c'è una scheda di esercizi svolti sui monomi che vi aspetta, oltre a tutti gli altri esercizi che abbiamo risolto e spiegato e che potete reperire con la barra di ricerca interna. ;)

 

I più impazienti che sono qui per un ripasso veloce possono anche mettersi alla prova sin da subito con le espressioni con monomi.

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Esercizi correlati...........Lezione successiva


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