Divisione tra polinomi

La divisione tra polinomi è un'operazione che viene calcolata mediante un apposito algoritmo basato sulla divisione tabellare. La tecnica per la divisione tra polinomi consente di determinare quoziente e resto mediante semplici passaggi ripetuti.

 

Come si calcola la divisione tra polinomi, e quali sono i suoi principali utilizzi? A volte capita di imbattersi in esercizi che chiedono di dividere un polinomio per un altro, e di effettuare una divisione nuda e cruda, senza ulteriori scopi.

 

In realtà, la divisione tra polinomi (con o senza resto) è molto importante, ed ha un grandissimo numero di applicazioni in tanti tipi di esercizi. Questo proprio perché si tratta di un'operazione di base.

 

Divisione tra polinomi con e senza resto

 

C'è un metodo standard che permette di dividere due polinomi tra loro, e lo vediamo tra pochissimo, ma prima dobbiamo fare una piccola premessa.

 

Prendiamo due polinomi P(x), D(x): un importantissimo teorema dell'Algebra ci garantisce che è sempre possibile trovare due polinomi Q(x), R(x) tali che

 

P(x)=Q(x)D(x)+R(x)

 

La precedente scrittura esprime proprio la divisione con resto di P(x) per D(x). In particolare, Q(x) indica il quoziente della divisione, mentre R(x) il resto. Se dopo aver effettuato la divisione otteniamo un polinomio R(x) diverso da zero, allora abbiamo appena effettuato una divisione con resto; se invece R(x)=0, abbiamo calcolato una divisione esatta.

 

 

Osservazione (dividere un polinomio per un polinomio di grado superiore)


Se vogliamo dividere un polinomio P(x), di grado n, per un polinomio D(x) di grado m maggiore di n, come ad esempio

 

P(x)=4x^2+3x\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ D(x)=x^3+x+7

 

possiamo farlo, ma non dobbiamo svolgere neppure mezzo calcolo. In tal caso infatti avremo come risultati della divisione con resto

 

Q(x)=0\ \ \ ;\ \ \ R(x)=P(x)

 

cioè il quoziente è il polinomio nullo e il resto coincide con il polinomio dividendo. Se non ci credere, provate a sostituire Q(x)=0 e R(x)=P(x) nell'uguaglianza della divisione tra polinomi... ;)

 

Come calcolare la divisione tra polinomi

 

Ora vediamo il metodo per la divisione tra polinomi. Prenderemo come riferimento un esempio, spiegando via via tutti i passaggi che vanno effettuati.

 

Supponiamo di avere due polinomi P(x), D(x) di cui P(x) di grado superiore a D(x), ad esempio

 

\\ P(x)=x^4+x-1+2x^2\\ \\ D(x)=x^2+1+x

 

Cerchiamo due polinomi Q(x), R(x) tali che

 

P(x)=Q(x)D(x)+R(x)

 

 

1) Ordiniamo entrambi i polinomi secondo le potenze decrescenti di x

 

\\ P(x)=x^4+2x^2+x-1\\ \\ D(x)=x^2+x+1

 

Se i due polinomi sono già ordinati, si passa direttamente al punto successivo.

 

 

2) Disponiamo i singoli termini dei due polinomi in una tabella come la seguente, riportando anche i segni di ciascun termine

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ & & & & & & \end{array}

 

 

Importante: se qualche termine del polinomio P(x) non dovesse comparire, ossia se il corrispondente coefficiente dovesse essere nullo, dovremmo scrivere al suo posto uno zero nella posizione corrispondente della tabella.

 

Nel caso del polinomio P(x)=x^4+2x^2+x-1, abbiamo riportato uno 0 in corrispondenza del termine x^3.

 

Se al posto del precedente P(x) avessimo avuto, ad esempio, il polinomio P(x)=x^7+x^2+x+1, avremmo dovuto riportare nella tabella tutti i coefficienti del polinomio scritto nella forma

 

P(x)=x^7+0x^6+0x^5+0x^4+0x^3+x^2+x+1

 

 

3) Dividiamo il termine di grado massimo di P(x) per il termine di grado massimo di D(x), effettuando una semplicissima divisione tra monomi 

 

\frac{x^4}{x^2}=x^2

 

e riportiamo il risultato nella tabella, al di sotto del polinomio D(x)

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ & & & & & +x^2 \end{array}

 

 

 

4) Moltiplichiamo il risultato scritto al punto 2) per ciascuno dei termini del polinomio D(x), invertiamo il segno di ciascuno dei risultati, e riportiamo ciascuno dei risultati al di sotto del polinomio P(x), al di sotto dei termini con lo stesso grado.

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & & & +x^2 \\ \cline{1-5} & & & & & & \end{array}

 

 

5) Effettuiamo, nella parte sinistra della tabella, le operazioni in colonna, e riportiamo i risultati sempre nella parte sinistra

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & \downarrow & \downarrow & +x^2 \\ \cline{1-5} & & & & & & \\ // & -x^3 & +x^2 & +x & -1 & \\ & & & & & & & \end{array}

 

 

6) Reiteriamo il procedimento dal punto 2) al punto 4). Dobbiamo fermarci quando il grado del termine di grado massimo a sinistra (preso dall'ultimo polinomio, più in basso) è minore rispetto al termine di grado massimo del divisore D(x).

 

Nel nostro esempio, dividiamo -x^3 \ \mbox{per} \ x^2, ottenendo -x

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & \downarrow & \downarrow & +x^2 & -x\\ \cline{1-5} & & & & & & \\ // & -x^3 & +x^2 & +x & -1 & \\ & & & & & & & \end{array}

 

 

e moltiplichiamo tale risultato per tutti i termini di D(x), riportandoli al di sotto del polinomio che si trova più in basso nella parte sinistra

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & \downarrow & \downarrow & +x^2 & -x\\ \cline{1-5} & & & & & & \\ // & -x^3 & +x^2 & +x & -1 & \\ & & & & & & & \\ & +x^3 & +x^2 & +x & & \\ \cline{1-5}& & & & & &\end{array}

 

 

Calcoliamo le somme in colonna

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & & & +x^2 & -x\\ \cline{1-5} & & & & & & \\ // & -x^3 & +x^2 & +x & -1 & \\ & & & & & & & \\ & +x^3 & +x^2 & +x & \downarrow & \\ \cline{1-5}& & & & & & \\ & // & +2x^2 & +2x & -1 & & \\ & & & & & &\end{array}

 

 

Poiché il grado di 2x^2 (termine di grado massimo del polinomio in basso a sinistra) non è minore rispetto al grado di x^2 (termine di grado massimo del divisore D(x)), possiamo reiterare il procedimento.

 

Dividendo 2x^2 \ \mbox{per} \ x^2 otteniamo +2 che scriveremo nella colonna di destra accanto al -x.

 

Moltiplicheremo poi tale valore per tutti i termini di D(x) riportando i risultati nella colonna di sinistra ed eseguendo infine la somma/differenza:

 

 

\begin{array}{ccccc|ccc} +x^4 & 0 & +2x^2 & +x & -1 & +x^2 & +x & +1 \\ \cline{6-8} & & & & & & \\ -x^4 & -x^3 &  -x^2 & \downarrow & \downarrow & +x^2 & -x & +2\\ \cline{1-5} & & & & & & \\ // & -x^3 & +x^2 & +x & -1 & \\ & & & & & & & \\ & +x^3 & +x^2 & +x & \downarrow & \\ \cline{1-5}& & & & & & \\ & // & +2x^2 & +2x & -1 & & \\ & & & & & & \\ & & -2x^2 & -2x & -2 & & & \\ \cline{1-5} & & & & & & \\ & & // & // & -3 & \end{array}

 

 

Ora dobbiamo fermarci, perché il grado di -3 e zero ed è ovviamente minore del grado di x^2.

 

 

7) Conclusioni. Il polinomio che abbiamo determinato nella parte destra della tabella, al di sotto di D(x), è il quoziente Q(x) della divisione. Nel nostro caso:

 

Q(x)=x^2-x+2

 

L'ultimo polinomio, in fondo alla parte sinistra, è il resto della divisione:

 

R(x)=-3

 

Possiamo esprimere la divisione con resto nella forma

 

\begin{matrix}P(x) & = & Q(x) & D(x) & + & R(x)\\ & & & & & \\ x^4+2x^2+x-1 & = & (x^2-x+2) & (x^2+x+1) & + & (-3)\end{matrix}

 

Ed ecco fatto! Il metodo per calcolare la divisione tra due polinomi qualsiasi ci ha condotto al risultato richiesto. ;)

 

Osservazione: divisione tra polinomi e regola di Ruffini

 

Se avete letto la precedente lezione, dedicata alla regola di Ruffini, saprete già che il metodo di Ruffini permette di scomporre un polinomio scomponibile P(x) di grado n nella forma

 

P(x)=(x-a)R(x)

 

dove a è una radice del polinomio P(x) e R(x) è un polinomio di grado (n-1).

 

Benissimo: a titolo di cronaca, la scomposizione di Ruffini non è nient'altro che un metodo alternativo per effettuare la divisione tra polinomi, nel caso particolare in cui il divisore è un polinomio di grado 1. ;)

 

 


 

Non ci resta che rimandarvi alla scheda correlata, in cui potete consultare diversi esercizi svolti sulla divisione tra polinomi. Non dimenticate che, utilizzando l'apposita barra di ricerca, potete reperire tanti altri esercizi tra le decine di migliaia di problemi risolti dallo Staff. Inoltre, se volete verificare i risultati dei vostri esercizi, potete anche usare il tool per dividere due polinomi online. ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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