Scomposizione dei trinomi con le equazioni di secondo grado

La scomposizione dei trinomi di secondo grado si può portare a termine trovando le soluzioni dell'equazione di secondo grado ad essa associata; tale metodo di scomposizione consente di stabilire a priori se un polinomio è scomponibile e in caso affermativo ci dice come scomporre il polinomio dato.

 

Attenzione: questa lezione si rivolge esclusivamente agli studenti che hanno già studiato le equazioni di secondo grado. Tutti gli altri possono procedere oltre.

 

Qui di seguito impareremo ad utilizzare il metodo di scomposizione dei polinomi di secondo grado tramite l'equazione associata. Tale tecnica di scomposizione si applica solo ai polinomi di secondo grado ed è molto utile quando le altre tecniche di scomposizione sono di difficile attuazione.

 

Scomposizione del trinomio di secondo grado

 

Ogni trinomio di secondo grado che si presenta nella forma

 

ax^2+bx+c

 

si può scomporre ricorrendo al metodo dell'equazione associata.

 

Uno dei punti di forza di tale tecnica di scomposizione è che permette di stabilire a priori se un polinomio è scomponibile nell'insieme \mathbb{R} dei numeri reali. In caso affermativo fornisce inoltre una formula di scomposizione che richiede la conoscenza della formula risolutiva per le equazioni di secondo grado.

 

Equazione associata ad un polinomio

 

Prima di entrare nel vivo della lezione vediamo, anzitutto, cosa si intende per equazione associata ad un polinomio. Si dice equazione associata ad un polinomio l'equazione che si ottiene ponendo uguale a zero il polinomio dato. Ad esempio

 

3xy-2x+4=0

 

è l'equazione associata al polinomio

 

3xy-2x+4

 

così come

 

12a^2-7a+9=0

 

è l'equazione associata al polinomio

 

12a^2-7a+9

 

Metodo dell'equazione associata per la scomposizione di un trinomio di secondo grado

 

Dopo aver capito come si scrive l'equazione associata ad un polinomio vediamo come si stabilisce se un trinomio di secondo grado è scomponibile e come si procede alla scomposizione.

 

Consideriamo un generico trinomio di secondo grado

 

ax^2+bx+c

 

Per stabilire se il polinomio dato è scomponibile dobbiamo:

 

- scrivere l'equazione ad esso associata

 

ax^2+bx+c=0

 

- Calcolare il discriminante relativo a tale equazione

 

\Delta=b^2-4ac

 

- Analizzare il segno del discriminante. Se il discriminante è positivo o nullo (Δ≥0) allora il polinomio è scomponibile, in caso contrario, ossia se il discriminante è strettamente negativo (Δ<0) allora il polinomio non è scomponibile nell'insieme dei numeri reali.

 

- Se il polinomio è scomponibile, la formula per la scomposizione di un trinomio di secondo grado è

 

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

 

dove x_1 \mbox{ e } x_2 sono le soluzioni dell'equazione ax^2+bx+c=0 associata al polinomio, cioè

 

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \quad \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

 

 

Caso particolare: Δ=0

 

Nel caso in cui il discriminante dell'equazione associata al trinomio sia nullo (Δ=0) allora il trinomio ax^2+bx+c è lo sviluppo di un quadrato di binomio e si può scomporre come spiegato nella lezione del link, oppure come

 

ax^2+bx+c = a(x-x_1)^2, \quad \mbox{ con } x_1=-\frac{b}{2a}

 

Esempi sulla scomposizione di un trinomio di secondo grado con l'equazione associata

 

Consideriamo il polinomio di secondo grado

 

x^2+3x-4

 

Per stabilire se è scomponibile scriviamo l'equazione ad esso associata

 

x^2+3x-4=0

 

e calcoliamone il discriminante

 

\Delta=b^2-4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9+16=25

 

Poiché \Delta>0 il polinomio è scomponibile. Calcoliamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado

 

\\ x^2+3x-4=0\\ \\ x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3-5}{2}=-4 \\ \\ \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3+5}{2}=1

 

In accordo con la formula per la scomposizione di un trinomio di secondo grado, il polinomio si scompone in

 

x^2+3x-4=a(x-x_1)(x-x_2)=1(x-(-4))(x-1)=(x+4)(x-1)

 

 

Un altro esempio

 

Consideriamo il trinomio

 

3x^2-x-2

 

L'equazione ad esso associata è

 

3x^2-x-2=0

 

il cui discriminante è dato da

 

\Delta=b^2-4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1+24=25

 

che è una quantità positiva, pertanto il polinomio è scomponibile in \mathbb{R}. Le soluzioni dell'equazione associata sono

 

\\ x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1-\sqrt{25}}{2\cdot 3}=\frac{1-5}{6}=-\frac{4}{6}=-\frac{2}{3} \\ \\ \\ x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1+\sqrt{25}}{2\cdot 3}=\frac{1+5}{6}=1

 

Quindi la scomposizione del polinomio è

 

\begin{align*}3x^2-x-2 & =a(x-x_1)(x-x_2)=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)(x-1)= \\ & =3\left(x+\frac{2}{3}\right)(x-1)=(3x+2)(x-1) \end{align*}

 

 

Esempio di polinomio non scomponibile

 

Il polinomio

 

5x^2-7x+9=0

 

non è scomponibile in \mathbb{R}. Infatti l'equazione ad esso associata

 

5x^2-7x+9=0

 

ha come discriminante

 

\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4 \cdot 5 \cdot 9 = 49 - 180 = -131

 

che è un numero negativo.

 

 

Esempio di polinomio con discriminante associato uguale a zero

 

Proponiamoci di scomporre il polinomio

 

2x^2-2\sqrt{6}x+3

 

L'equazione ad esso associata è

 

2x^2-2\sqrt{6}x+3=0

 

Calcoliamone il discriminante

 

\Delta=b^2-4ac=\left(2\sqrt{6}\right)^2-4\cdot 2 \cdot 3 = 24-24=0

 

Poiché è nullo il polinomio si scompone come

 

2x^2-2\sqrt{6}x+3 = a\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2 = 2 \left(x-\frac{2\sqrt{6}}{4}\right)^2=2\left(x-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2

 

Dimostrazione della formula per la scomposizione di un trinomio tramite l'equazione associata

 

Agli studenti più volenterosi riserviamo la facilissima dimostrazione della formula per la scomposizione di un trinomio di secondo grado tramite la ricerca delle radici dell'equazione associata:

 

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

 

dove x_1 \mbox{ e } x_2 sono le soluzioni dell'equazione ax^2+bx+c=0.

 

Molto semplicemente, sviluppando il prodotto

 

a(x-x_1)(x-x_2)

 

si ottiene

 

a(x-x_1)(x-x_2) = (ax-ax_1)(x-x_2) = ax^2-axx_2-axx_1+ax_1x_2

 

Effettuiamo ora un raccoglimento totale del fattore -ax tra il secondo ed il terzo termine

 

a(x-x_1)(x-x_2) = ax^2-axx_2-axx_1+ax_1x_2= ax^2-ax(x_1+x_2)+ax_1x_2

 

A questo punto occorre ricordare le relazioni seguenti

 

x_1+x_2=-\frac{b}{a} \quad \mbox{ e } \quad x_1x_2=\frac{c}{a}

 

che legano la somma ed il prodotto delle radici di un'equazione di secondo grado con i rispettivi coefficienti. Sostituendo nell'espressione precedente otteniamo

 

\begin{align*}a(x-x_1)(x-x_2) & = ax^2-axx_2-axx_1+ax_1x_2 = \\ & = ax^2-ax(x_1+x_2)+ax_1x_2 = \\ & = ax^2-ax \left(-\frac{b}{a}\right)+a\left(\frac{c}{a}\right) = \\ & = ax^2+bx+c \end{align*}

 

Abbiamo così dimostrato che ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) è la formula che ci permette di fattorizzare ogni trinomio scomponibile di secondo grado in una variabile.

 

 


 

Per concludere vi facciamo notare che molti dei polinomi scomposti in questa lezione si sarebbero potuti scomporre come trinomi notevoli con somma e prodotto. La tecnica vista in questa lezione è però di gran lunga la più efficace, sia perché permette di stabilire se un polinomio è scomponibile, sia perché non è sempre facile adottare la tecnica di scomposizione per il trinomio particolare, soprattutto quando entrano in gioco i radicali. ;)

 

Se qualcosa non fosse chiaro o se foste alla ricerca di esercizi svolti potete utilizzare la barra di ricerca interna; inoltre ci sono due comodi tools per verificare i risultati dei vostri esercizi: scomposizione dei polinomi e risolvi espressioni. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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