Differenza di cubi

La differenza di cubi è un prodotto notevole attraverso cui è possibile scomporre un binomio dato dalla differenza di due cubi nel prodotto tra un binomio di primo grado ed un trinomio di secondo grado.

 

La regola per la scomposizione di una differenza di cubi è uno dei prodotti notevoli che incontrerete più spesso nel corso dei vostri studi, in quanto è molto utilizzata nelle tecniche di razionalizzazione. Sebbene all'apparenza possa sembrare un prodotto notevole difficile da memorizzare, se se ne capisce la logica sarà un gioco da ragazzi ricordare come di scompone una differenza di cubi.

 

Nelle righe che seguono vi metteremo in guardia sugli errori più comuni e vi mostreremo un trucchetto utile per ricordare la formula per la scomposizione della differenza tra cubi, per poi svolgere insieme un paio di scomposizioni.

 

Scomposizione della differenza di cubi

 

Sia A^3-B^3 una differenza di cubi. La formula che permette di scomporre tale differenza è:

 

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

 

Vi sconsigliamo di impararla a memoria e vi invitiamo a capire come si ricava; in questo modo pur non ricordandola non avrete problemi ad usarla nella risoluzione degli esercizi. ;)

 

Dopo aver ricavato le basi dei due cubi, la scomposizione prevede di scrivere un prodotto tra un binomio ed un trinomio. Nello specifico:

 

- il binomio presente nella scomposizione è dato dalla differenza delle due basi. Dobbiamo cioè scrivere le due basi con al centro lo stesso segno di quello del polinomio di partenza;

 

- il trinomio della scomposizione è invece il falso quadrato del binomio (A-B) in cui il termine misto è preceduto dal segno +, ossia avrà segno opposto rispetto a quello presente nel polinomio di partenza.

 

La regola per la differenza di due cubi espressa a parole è la seguente: la scomposizione della differenza di due cubi è data dal prodotto tra la differenza delle basi ed il falso quadrato del binomio formato dalla differenza delle basi, il cui termine misto è preceduto dal segno più.

 

Dimostrazione della formula per la scomposizione della differenza di cubi

 

La formula per la scomposizione di una differenza di cubi

 

A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)

 

si dimostra svolgendo il prodotto tra polinomi presente a secondo membro.

 

\begin{align*}(A-B)(A^2+AB+B^2)&=A^3+A^2B+AB^2-A^2B-AB^2-B^3= \\ \\ &=A^3-B^3\end{align*}

 

Come potete osservare, da tale prodotto abbiamo ottenuto proprio la differenza tra il cubo di A e il cubo di B e la formula può dirsi dimostrata. ;)

 

Esempi sulla differenza di cubi

 

Vediamo ora un paio di esempi di scomposizione della differenza di due cubi. Prima di procedere vi consigliamo di imparare a ricordare la formula, dopodiché non avrete più problemi; basterà solo prestare attenzione nel riconoscere e scrivere correttamente le basi dei due cubi.

 

1) Scomponiamo il seguente binomio

 

27x^3-125y^3

 

che si presenta come differenza tra i due cubi 27x^3 \mbox{ e } 125y^3.

 

La prima cosa da fare è ricavare le rispettive basi che sono 3x \mbox{ e } 5y, infatti

 

\\ (3x)^3=3^3 \cdot x^3=27x^3; \\ \\ \left(5y\right)^3=5^3 \cdot \left(y\right)^3=125y^3

 

Fatto ciò è immediato scrivere la scomposizione

 

27x^3-125y^3=(3x-5y)(9x^2+15xy+25y^2)

 

dove il primo termine è il binomio dato dalla differenza delle basi

 

3x-5y

 

mentre il secondo termine è il falso quadrato del binomio 3x-5y il cui termine misto è preceduto dal segno più.

 

9x^2+15xy+25y^2

 

 

2) Scomponiamo ora la seguente differenza di cubi

 

2x^3a^9-4y^{3}

 

Poiché le parti letterali dei due monomi 2x^3a^9 \mbox{ e } 4y^3 non sono dei cubi perfetti, occorre prestare maggiore attenzione nello scrivere le basi dei due cubi.

 

Per non cadere in errore consigliamo di estrarre la radice cubica dei due termini. In questo caso le regole dei radicali ci sono di grande aiuto:

 

\\ \sqrt[3]{2x^3a^9}=\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{x^3a^9}=\sqrt[3]{2}xa^3; \\ \\ \sqrt[3]{4y^{3}}=\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{y^{3}} = \sqrt[3]{4}y

 

A questo punto la scomposizione diventa immediata:

 

\begin{align*}2x^3a^9-4y^{3}&=\left(\sqrt[3]{2}xa^3-\sqrt[3]{4}y\right) \left(\sqrt[3]{2^2}x^2a^6 + \sqrt[3]{2\cdot 4}xa^3y+\sqrt[3]{4^2}y^2\right) = \\ \\ & = \left(\sqrt[3]{2}xa^3-\sqrt[3]{4}y\right) \left(\sqrt[3]{4}x^2a^6+\sqrt[3]{8}xa^3y+\sqrt[3]{16}y^2\right)\end{align*}

Due casi particolari della differenza di cubi

 

Uno tra gli errori più frequenti nella scomposizione di una differenza di cubi consiste nel sbagliare il segno del termine misto del falso quadrato. Ciò accade soprattutto quando la differenza di cubi si presenta nella forma

 

-A^3+B^3

 

In questo caso suggeriamo di scrivere il binomio come

 

B^3-A^3

 

e di scomporlo con il metodo visto in questa lezione.

 

Sempre per non commettere errori di segno, se dovete scomporre un binomio del tipo

 

-A^3-B^3

 

è consigliabile raccogliere a fattor comune -1, così da ottenere

 

-(A^3+B^3)

 

In questo modo ci si riconduce ad una somma di due cubi preceduta dal segno meno. ;)

 

 


 

Un ultimo avvertimento: attenzione a non confondere la differenza di cubi con il cubo di un binomio. Per quanto il nome possa trarre in inganno, sono due prodotti notevoli diversi.

 

Se siete alla ricerca di esercizi sulla scomposizione della differenza di cubi potete utilizzare la barra di ricerca interna. E in caso di necessità vi suggeriamo di usare il tool per la scomposizione di polinomi online. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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