Somma di cubi

La somma di cubi è un prodotto notevole grazie al quale è possibile scrivere la somma di due cubi come prodotto tra un binomio di primo grado ed un trinomio di secondo grado.

 

La regola per la scomposizione di una somma di cubi è uno dei prodotti notevoli che incontrerete più spesso nella vostra carriera, sia scolastica che universitaria. Vi raccomandiamo quindi di tenerla sempre ben presente e soprattutto di capire come si ricava, in modo da non avere problemi nel caso non la ricordaste.

 

In questa lezione vi mostreremo proprio un trucchetto utile a ricordare la formula per la scomposizione della somma di cubi, mettendovi in guardia sugli errori più frequenti e commentando un paio di esempi svolti.

 

Scomposizione della somma di cubi

 

La formula che permette di scomporre il binomio A^3+B^3 formato da una somma di due cubi è la seguente:

 

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

 

Quindi per scomporre una somma tra cubi bisogna ricavare le basi A e B dei due cubi. Fatto ciò:

 

- il primo termine della scomposizione sarà un binomio formato dalla somma delle due basi, ossia dobbiamo scrivere le due basi con al centro lo stesso segno di quello del polinomio di partenza;

 

- il secondo termine della scomposizione sarà un trinomio dato dal falso quadrato del binomio (A+B); in questo caso bisogna prestare attenzione al segno del termine misto AB del falso quadrato, il quale sarà preceduto da un segno meno, ossia avrà segno opposto rispetto al polinomio di partenza.

 

Volendo esprimere a parole la regola per la somma di due cubi, possiamo affermare che la scomposizione della somma di due cubi è data dal prodotto tra la somma delle basi ed il falso quadrato del binomio formato dalla somma delle basi, il cui termine misto è preceduto dal segno meno.

 

Dimostrazione della regola per la somma di cubi

 

Per dimostrare la formula per la scomposizione di una somma di cubi

 

A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)

 

è sufficiente svolgere il prodotto tra polinomi presente a secondo membro, così da ottenere

 

\begin{align*}(A+B)(A^2-AB+B^2)&=A^3-A^2B+AB^2+A^2B-AB^2+B^3= \\ \\ &=A^3+B^3\end{align*}

 

Esempi sulla somma di cubi

 

È giunto il momento di vedere insieme un paio di esempi sulla esempi di scomposizione della somma di cubi. Se abbiamo capito come ricordare la formula, l'unica cosa a cui prestare attenzione è riconoscere e scrivere correttamente le due basi.

 

1) Proponiamoci di scomporre il seguente binomio dato dalla somma di due cubi

 

8x^3+27y^6

 

Innanzitutto ricaviamo le due basi, che sono 2x \mbox{ e } 3y^2. Infatti, per le proprietà delle potenze:

 

\\ (2x)^3=2^3\cdot x^3=8x^3; \\ \\ \left(3y^2\right)^3=3^3 \cdot \left(y^2\right)^3=27y^{2\cdot 3} = 27 y^6

 

Pertanto

 

8x^3+27y^6=(2x+3y^2)(4x^2-6xy^2+9y^4)

 

dove il primo fattore è il binomio dato dalla somma delle basi, ossia

 

2x+3y^2 

 

mentre il secondo fattore è il falso quadrato del binomio 2x+3y^2, il cui termine misto è preceduto dal segno meno.

 

4x^2-6xy^2+9y^4 

 

 

2) Scomponiamo la seguente somma di cubi

 

3x^9+40y^{12}

 

In alcuni esercizi, come in quello appena proposto, bisogna prestare maggiore attenzione nello scrivere le basi dei due cubi. Questo perché le parti letterali dei due monomi non sono dei cubi perfetti.

 

In tal caso per scrivere le basi senza commettere errori è sufficiente estrarre la radice cubica dei due termini; quindi le basi dei due cubi si ricavano facilmente grazie alle proprietà dei radicali

 

\\ \sqrt[3]{3x^9}=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{x^9}=\sqrt[3]{3}x^3; \\ \\ \sqrt[3]{40y^{12}}=\sqrt[3]{40}\cdot \sqrt[3]{y^{12}} = \sqrt[3]{2^3\cdot 5}\cdot \sqrt[3]{y^{12}} = 2\sqrt[3]{5}y^4

 

A questo punto la scomposizione viene da sé. Basta solo prestare attenzione ai conti e svolgere correttamente il prodotto tra monomi.

 

\begin{align*}3x^9+40y^{12}&=\left(\sqrt[3]{3}x^3+2\sqrt[3]{5}y^4\right) \left(\sqrt[3]{3^2}x^6 - 2\sqrt[3]{3\cdot 5}x^3y^4+4\sqrt[3]{5^2}y^8\right) = \\ \\ & = \left(\sqrt[3]{3}x^3+2\sqrt[3]{5}y^4\right) \left(\sqrt[3]{9}x^6-2\sqrt[3]{15}x^3y^4+4\sqrt[3]{25}y^8\right)\end{align*}

 

Due casi particolari della somma di cubi

 

A conclusione di questa lezione vogliamo mettervi in guardia su due casi particolari, che inducono gli studenti alle prime armi con questo genere di scomposizione a commettere errori.

 

Se siamo di fronte ad una somma di cubi che si presenta nella forma

 

-A^3+B^3

 

vi consigliamo di riscriverla come

 

B^3-A^3

 

e di trattarla come una differenza di due cubi. In questo modo eviterete di commettere errori di segno nel termine misto del falso quadrato presente nella scomposizione.

 

Per lo stesso motivo, se dovete scomporre un binomio del tipo

 

-A^3-B^3

 

conviene raccogliere a fattor comune -1, così da ottenere

 

-(A^3+B^3)

 

ossia una somma di cubi preceduta dal segno meno che sappiamo più che bene come scomporre. ;)

 

 


 

Un ultimo avvertimento: sebbene il nome possa trarre in inganno, non confondete la somma di due cubi con il cubo di un binomio; si tratta infatti di due prodotti notevoli ben distinti.

 

Adesso è davvero tutto! Se siete alla ricerca di esercizi sulla scomposizione della somma di cubi potete utilizzare la barra di ricerca interna, in alto a destra in ogni pagina. Se invece volete ricavare i risultati degli esercizi che vi sono stati assegnati per casa potete usare il tool per la scomposizione di polinomi online. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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