Trinomio notevole con somma e prodotto

Con trinomio notevole (detto anche trinomio particolare o trinomio caratteristico) si intende una regola di scomposizione dei polinomi composti da tre termini. Essa, ove possibile, permette di sfruttare semplici regole algebriche su somma e prodotto per scomporre i trinomi.

 

In questa lezione passiamo ad una particolare tecnica di scomposizione mediante prodotti notevoli, che si applica solamente a trinomi di secondo grado o di grado pari di un certo tipo: la regola del trinomio notevole, detta anche regola di scomposizione con somma e prodotto per trinomi o trinomio particolare.

 

Scomposizione del trinomio notevole con somma e prodotto

 

Dato un trinomio di secondo grado, della forma

 

x^2+sx+p

 

spesso (ma non sempre) è possibile scomporlo in maniera semplice, trovando due numeri che abbiano somma s e prodotto p.

 

Perché questo è vero? Se un polinomio di secondo grado è scomponibile in fattori, sicuramente questi saranno di primo grado. Consideriamo il polinomio

 

x^2+sx+p

 

Scomponendolo sicuramente otterremo il prodotto di due polinomi di primo grado:

 

x^2+sx+p=(x+a_1)(x+a_2)

 

Ora moltiplichiamo i due fattori della scomposizione:

 

(x+a_1)(x+a_2)=x^2+a_2 x+a_1 x+a_1a_2

 

Raccogliamo x:

 

(x+a_1)(x+a_2)=x^2+(a_2 +a_1) x+a_1a_2

 

Da quanto abbiamo appena scritto si vede che il coefficiente di x è esattamente la somma delle radici del polinomio, mentre il termine noto è dato dal prodotto delle due.

 

In sostanza, confrontando

 

x^2+sx+p\ \ \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \ \ x^2+(a_2 +a_1) x+a_1a_2

 

Quindi, se abbiamo un trinomio x^2+sx+p e se esistono due numeri a_1,\ a_2 tali che

 

\begin{cases}a_2+a_1=s\\ a_1a_2=p\end{cases}

 

allora varrà la formula per la scomposizione del trinomio notevole

 

x^2+sx+p=(x+a_1)(x+a_2)

 

e, per l'appunto, qualsiasi trinomio che ammetta una scomposizione del genere verrà detto trinomio notevole. È importante ribadire che non tutti i trinomi possono essere scomposti con la regola appena esposta.

 

Esempi sulla scomposizione del trinomio notevole per somma e prodotto

 

Consideriamo il polinomio di secondo grado

 

x^2+5x+6

 

dobbiamo cercare due numeri che abbiano somma +5 e prodotto +6.

 

\begin{cases}a_1+a_2=+5\\ a_1a_2=6\end{cases}

 

L'unica coppia di numeri che fa al caso nostro è (2,3), quindi in accordo con la regola del trinomio notevole il polinomio si scompone in

 

x^2+5x+6=(x+2)(x+3)

 

Provare per credere: moltiplicando (x+2) e (x+3) otteniamo:

 

(x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6=x^2+5x+6

 

 

Un altro esempio

 

Consideriamo il trinomio

 

x^2-5x-14

 

In questo caso la somma deve dare -5, mentre il prodotto -14:

 

\begin{cases}a_1+a_2=-5\\ a_1a_2=-14\end{cases}

 

Poiché esiste una coppia di numeri che soddisfa entrambe le condizioni, ed è (2,-7), ci troviamo di fronte ad un trinomio notevole e la scomposizione del polinomio è data da

 

x^2-5x-14=(x+2)(x-7)

 

Scomposizione del trinomio notevole per trinomi di grado superiore al secondo

 

Il metodo di scomposizione del trinomio notevole si può applicare anche per particolari trinomi di grado superiore al secondo, ed in particolare per certi polinomi del tipo

 

x^{2n}+sx^n+p

 

dove le potenze dei termini del trinomio sono, nell'ordine, (2n,n,0) con n>1 un numero naturale positivo.

 

In questo caso, dette a_1,\ a_2 le radici del polinomio, se valgono le condizioni

 

\begin{cases}a_1+a_2=s\\ a_1a_2=p\end{cases}

 

allora ci troviamo di fronte ad un trinomio notevole di grado superiore al secondo che potremo scomporre come

 

x^{2n}+sx^n+p=(x^n+a_1)(x^n+a_2)

 

 

Esempio

 

Dato il trinomio

 

x^8+x^4-12

 

allora possiamo determinare la scomposizione cn la regola del trinomio notevole, infatti da

 

\begin{cases}a_1+a_2=1\\ a_1a_2=-12\end{cases}

 

vediamo che esistono due numeri a_1,\ a_2 che soddisfano entrambe le condizioni, a_1=+4,\ a_2=-3

 

x^8+x^4-12=(x^4+4)(x^4-3)

 

Trinomio notevole con coefficiente diverso da 1

 

Finora abbiamo visto come scomporre i trinomi notevoli della forma

 

x^2+sx+p

 

ossia quelli col coefficiente di x2 pari ad 1.

 

Dovrebbe, allora, sorgere spontanea una domanda: come si scompone un trinomio notevole della forma

 

ax^2+sx+p

 

in cui il coefficiente di x2 è diverso da 1?

 

Tali trinomi si dicono trinomi notevoli del secondo tipo e, se sono scomponibili, possono essere fattorizzati come spiegato qui di seguito.

 

Scomposizione del trinomio notevole del secondo tipo con somma e prodotto

 

Dato un trinomio di secondo grado della forma

 

ax^2+sx+p

 

è possibile scomporlo trovando due numeri t_1 \mbox{ e } t_2 tali che la loro somma sia pari ad s ed il loro prodotto sia uguale ad ap, ossia

 

\begin{cases}t_1+t_2=s \\ t_1t_2=ap\end{cases}

 

Una volta trovati tali numeri il trinomio notevole di secondo tipo si scompone come

 

ax^2+sx+p=(ax+t_1)\left(x+\frac{t_2}{a}\right)

 

dove t_2 è uno tra i due numeri trovati che è divisibile per a.

 

Se ci dovesse essere qualche passaggio poco chiaro l'esempio che segue aiuterà a far chiarezza. ;)

 

 

Esempio di scomposizione del trinomio notevole di secondo tipo

 

A titolo di esempio scomponiamo il trinomio

 

3x^2-x-2

 

che si presenta come un trinomio notevole del secondo tipo con a=3, \ s=-1 \mbox{ e } p=-2.

 

Dobbiamo allora trovare due numeri t_1 \mbox{ e } t_2 tali che la loro somma sia pari ad s=-1 ed il loro prodotto sia uguale a ap = 3 \cdot (-2) = -6

 

\begin{cases}t_1+t_2=-1 \\ t_1t_2 = -6\end{cases}

 

La coppia di numeri cercata è (2,-3) e poiché tra i due numeri trovati l'unico divisibile per a=3 è -3, porremo t_1=2 \mbox{ e } t_2=-3. Allora, in accordo con la formula introdotta in precedenza, avremo

 

3x^2-x-2=(3x+2)\left(x+\frac{-3}{3}\right)=(3x+2)(x-1)

 

 


 

 

Come più volte ribadito nel corso di questa lezione, non è sempre possibile scomporre i trinomi di secondo grado con le regole del trinomio particolare con somma e prodotto, e questo per due motivi:

 

- non tutti i polinomi sono scomponibili in \mathbb{R};

 

- non è sempre immediato trovare i due numeri che ci permettono di ultimare la scomposizione.

 

Non disperiamo però! Prima di alzare bandiera bianca possiamo provare a scomporre il trinomio con il metodo di scomposizione tramite l'equazione associata. Il punto di forza di tale metodo è che permette di stabilire fin da subito se il trinomio è scomponibile e, in caso affermativo, ci dice come procedere alla scomposizione. Per saperne di più basta leggere la lezione del link. ;)

 

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro, o se volete allenarvi, potete mettervi alla prova con gli esercizi della scheda correlata, e se non bastassero potete anche usare la barra di ricerca interna. Qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. Inoltre ci sono anche due comodi tools per verificare i risultati dei vostri esercizi online: scomposizione di polinomi e risolvi espressioni. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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