Regola di Ruffini

La regola di Ruffini è una regola di scomposizione dei polinomi introdotta dal matematico Paolo Ruffini nel XVIII secolo, grazie alla quale è possibile effettuare la scomposizione di polinomi di grado qualsiasi sotto opportune ipotesi espresse dall'omonimo teorema di Ruffini.

 

L'importanza del metodo di Ruffini riguarda il fatto che esso funziona anche laddove le tecniche di scomposizione derivanti dai prodotti notevoli falliscono. Ne parliamo nel dettaglio qui di seguito, proponendo il metodo e mostrando come applicarlo negli esercizi mediante opportuni esempi.

 

Perché studiare il metodo di Ruffini?

 

Il metodo di Ruffini, sebbene spesso sia considerato quasi un incubo dagli studenti delle superiori, è uno dei metodi più sicuri e meccanici per scomporre i polinomi.

 

Generalmente in Matematica prima si studiano le definizioni, i teoremi e i procedimenti, e solo dopo ci si chiede perché. In questa lezione vorremmo provare a invertire questa tendenza: consideriamo un polinomio P(x) scomponibile e di grado n. La regola di Ruffini consente di ottenere una scomposizione in fattori di P(x) del tipo

 

P(x)=Q(x)R(x)

 

dove Q(x) e R(x) sono polinomi rispettivamente di grado 1 e (n-1).

 

La morale è questa: se avete un polinomio scomponibile di grado abbastanza alto (da 3 in su) e dovete scomporlo, Ruffini vi fornirà un metodo infallibile. Pur trattandosi di un metodo sicuro, ci sono però due avvertenze da tenere in considerazione:

 

- Ruffini non conviene per i polinomi scomponibili di grado 2, perché tutte le altre tecniche di scomposizione sono nettamente più rapide;

 

- se individuate un'alternativa a Ruffini, usatela. Se vi prefiggete l'obiettivo di scomporre un polinomio scomponibile e di grado maggiore o uguale a 3, e se individuate un altro metodo per effettuare la scomposizione, preferite sempre quest'ultimo. Ruffini è una macchina da guerra e funziona sempre, ma è un metodo certamente più dispendioso rispetto alle altre tecniche di scomposizione.

 

Come si scompone un polinomio con Ruffini?

 

Ora che sappiamo perché bisogna e conviene imparare la scomposizione di Ruffini, non ci resta che vedere come procedere.

 

Partiamo da un esempio e vediamo ogni singolo passaggio della regola generale: consideriamo il polinomio

 

P(x)=x^3+2x-3

 

 

1) Ricerca di una radice per applicare la regola di Ruffini

 

Cerchiamo una radice particolare del polinomio. Per farlo consideriamo la frazione data dal termine noto diviso il coefficiente direttivo, ossia il termine di grado massimo.

 

In generale, c'è un teorema dell'Algebra secondo cui dato un polinomio di grado n

 

G(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0

 

per cercarne una radice particolare possiamo scrivere la frazione data dal rapporto tra termine noto ed il coefficiente del termine di grado massimo

 

\frac{a_0}{a_n}

 

Una sua radice particolare sarà della forma

 

\frac{p}{q}

 

dove p è un divisore del termine noto a0 e q è un divisore del coefficiente del termine di grado massimo an.

 

Nota bene: il risultato appena esposto è un teorema conosciuto con il nome di teorema delle radici razionali.

 

Nel nostro esempio il termine noto è -3 e il coefficiente di x3 è 1, dunque cerchiamo i candidati al ruolo di radice del polinomio tra i divisori di

 

\frac{-3}{1}=-3

 

cioè

 

\{ -1, \ 1, \ -3, \ 3 \}

 

Come facciamo a capire quale di questi valori è una radice del polinomio? Consideriamo il polinomio P(x) e sostituiamo, separatamente, i valori al posto di x. Se la valutazione del polinomio risulta essere nulla, allora avremo trovato una radice; in caso contrario dovremo passare al valore successivo.

 

Nell'esempio abbiamo

 

P(x)=x^3+2x-3

 

e dunque proviamo sostituire al posto di x, uno alla volta, i valori {-1, 1, -3, 3}.

 

Se x=-1, abbiamo

 

P(-1)=(-1)^3+2(-1)-3=-1-2-3=-6

 

per avere una radice la valutazione del polinomio deve risultare zero, quindi x=-1 non è una radice del polinomio.

 

Proviamo con x=1

 

P(1)=(1)^3+2(1)-3=1+2-3=0

 

dato che la valutazione di P(x) in x=1 vale zero, abbiamo trovato una radice: x=1.

 

 

2) Applicazione del metodo: tabella di Ruffini

 

Ora procediamo con la regola di Ruffini: scriviamo una tabella fatta nel modo seguente

 

 

Tabella regola di Ruffini

 

 

Come vedete, nella prima riga compaiono i coefficienti dei termini del polinomio ordinati per grado. Nel nostro esempio mancava il termine di grado 2, quindi abbiamo aggiunto uno zero. La riga si conclude con il termine noto.

 

Nella seconda riga troviamo come primo elemento la radice del polinomio che abbiamo trovato inizialmente.

 

Fatto ciò possiamo dare il via all'applicazione della regola di Ruffini completando la tabella appena disegnata.

 

Nella terza ed ultima riga riportiamo in prima posizione il coefficiente del termine di grado massimo.

 

Procediamo poi con la compilazione della seconda e della terza riga. Moltiplichiamo l'elemento della terza riga (l'1 blu) per la radice (l'1 rosso) e riportiamo il risultato (l'1 verde) nella seconda riga, sulla colonna successiva. A questo punto, sulla seconda colonna, sommiamo il coefficiente della prima riga (lo 0) con l'elemento presente sulla seconda riga (l'1 verde), e riportiamo il risultato sulla terza riga.

 

 

Scomposizione con Ruffini

 

 

Reiterando il procedimento arriviamo all'ultimo elemento a destra sulla terza riga, che rappresenta il resto della scomposizione. Se abbiamo effettuato i calcoli correttamente, allora questo termine deve valere necessariamente zero ed avremo una situazione come quella rappresentata nella figura seguente:

 

 

Applicazione del metodo di scomposizione di Ruffini

 

 

3) Come si passa dalla tabella alla scomposizione del polinomio P(x)=Q(x)R(x)? 

 

Ci viene in soccorso il teorema di Ruffini, il quale afferma che un polinomio P(x) è divisibile per (x-a) se e solo se P(a)=0, ovvero se e solo se a è una radice del polinomio.

 

Cosa vuol dire? Molto semplicemente che, se abbiamo trovato una radice a del polinomio P(x), esso sarà divisibile per il binomio (x-a).

 

Nel nostro caso il polinomio di grado 1 sarà (x-1), ossia (x - la radice trovata), mentre quello di grado (n-1) (nel nostro esempio 3-1=2) ha come coefficienti i numeri che compaiono nella terza riga della tabella:

 

1\ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ 3

 

Sappiamo che R(x) ha grado 2, quindi non può essere che

 

x^2+x+3

 

Siamo arrivati alla scomposizione che volevamo!

 

P(x)=x^3+2x-3=(x-1)(x^2+x+3)

 

 

4) Eventualmente, reiterare Ruffini

 

In generale, dopo aver applicato Ruffini, ci ritroviamo con una scomposizione

 

P(x)=(x-a)R(x)

 

Se il polinomio R(x) ha grado superiore al primo possiamo tentare un'ulteriore scomposizione, applicando eventualmente Ruffini (per polinomi di grado maggiore o uguale a 3) o qualsiasi altra tecnica di scomposizione a noi nota. Ciò ovviamente è possibile a patto che R(x) sia un polinomio scomponibile.

 

 

5) Verifica del risultato (facoltativa)

 

Dopo aver scritto la scomposizione finale potete verificare velocemente il risultato effettuando i prodotti tra i polinomi presenti nella scomposizione. Se il risultato del prodotto coincide con il polinomio dato inizialmente, allora lo svolgimento è certamente corretto.

 

Dal canto nostro vi consigliamo di procedere con la verifica del risultato nei primissimi esercizi che svolgerete, almeno fino a che non avrete sufficiente dimestichezza con il metodo di Ruffini, e naturalmente nei problemi delle verifiche. ;)

 

Esempio di applicazione della regola di Ruffini

 

Consideriamo il polinomio

 

P(x)=x^4-2x^3-8x+16

 

e scomponiamolo applicando il procedimento secondo Ruffini. Per prima cosa cerchiamo una radice del polinomio tra i divisori del rapporto tra il termine e il coefficiente del termine di grado massimo:

 

\frac{16}{1}

 

I divisori sono:

 

\{ -1,1,-2,2,-4,4,-8,8,-16,16 \}

 

Sostituiamo i valori al posto di x nel polinomio cercandone uno che verifichi P(x)=0.

 

Ad esempio, se consideriamo x=2:

 

\\ P(2)=0\\ \\ P(2)=2^4-2\cdot 2^3-8\cdot 2+16=16-16-16+16=0

 

Quindi 2 è una radice del polinomio. In particolare, il teorema di Ruffini ci dice già che potremo scrivere P(x) come

 

P(x)=(x-2)R(x)

 

dove il polinomio di primo grado è individuato dalla radice che abbiamo appena trovato, mentre R(x) è un polinomio di grado 4-1=3.

 

Per determinare R(x) mettiamo in moto la regola di Ruffini e procediamo con la solita tabella:

 

 

Tabella per la regola di Ruffini

 

 

Nell'ultima riga abbiamo ricavato i coefficienti del secondo fattore della scomposizione, che sarà un polinomio di grado 3 (uno in meno rispetto a quello da cui siamo partiti):

 

R(x)=1\cdot x^3+0\cdot x^2+0\cdot x-8=x^3-8

 

Possiamo quindi scrivere la scomposizione in fattori di P(x):

 

P(x)=(x-2)R(x)=(x-2)(x^3-8)

 

Per scomporre ulteriormente il polinomio potremmo applicare ancora la regola di Ruffini a (x3-8), oppure ricordare come si scompone una differenza di cubi:

 

x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)

 

da cui otteniamo la scomposizione del polinomio

 

P(x)=(x-2)(x-2)(x^2+2x+4)

 

 


 

Più in basso trovate due link che rimandano ad esercizi svolti e con soluzioni sulla regola di Ruffini. Inoltre, se volete verificare i risultati dei vostri esercizi, potete usare il tool per la scomposizione di polinomi online. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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