Binomio di Newton

Il binomio di Newton (detto anche teorema binomiale o sviluppo binomiale) è una formula che permette di sviluppare le potenze con esponente intero e positivo di un qualsiasi binomio, senza bisogno di effettuare alcun calcolo.

 

Il binomio di Newton fornisce un utilissimo strumento di sviluppo che consente di calcolare una qualsiasi potenza intera di un binomio, mediante una formula che contiene i coefficienti binomiali. Per questo motivo la conoscenza di questa formula generalmente non è richiesta agli studenti delle scuole superiori, ai quali abbiamo dedicato la precedente lezione sulla potenza di un binomio.

 

 

Nella lezione sui prodotti notevoli abbiamo imparato come sviluppare il quadrato di un binomio e il cubo di un binomio; rispettivamente:

 

\\ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ \\ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ \\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

 

La formula di Newton ci fornisce, a patto di saperla leggere, un modo per capire come sviluppare qualunque potenza di un binomio:

 

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} \tbinom{n}{k}a^{n-k}b^k

 

Non fatevi spaventare, ora la guardiamo pezzetto per pezzetto e cerchiamo di capire quello che c'è scritto!

 

Formula di Newton con coefficienti binomiali

 

Generalmente quello che stupisce di più nella formula del binomio di Newton è il fatto che compaia un coefficiente binomiale:

 

\dbinom{n}{k}

 

sebbene questa scrittura sembri abbastanza misteriosa, si può spiegare abbastanza in fretta: ci servono solo due definizioni!

 

Definizione di fattoriale

 

Dato un numero naturale n si dice fattoriale di n, o n fattoriale

 

n!=\left\{\begin{matrix}1 & \mbox{se } n=0\\n(n-1)(n-2)\cdots 1 & \mbox{altrimenti}\end{matrix}

 

Il fattoriale di un numero si indica come n!, dunque ad esempio

 

\\ 2!=2\cdot 1=2\\ \\ 3!=3\cdot 2\cdot 1=6\\ \\ 4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24\\ \\ 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120

 

e, per definizione

 

0!=1

 

Siamo già pronti per definire il coefficiente binomiale:

 

Definizione di coefficiente binomiale

 

Dati due numeri naturali n e k, con 0\leq k\leq n

 

\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

 

In particolare

 

\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1\ \ \ \ \ \mbox{e}\ \ \ \ \ \dbinom{n}{1}=n

 

Grazie a quest'ultima definizione possiamo riscrivere la formula di Newton in termini più comprensibili:

 

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!}a^{n-k}b^k

 

Considerando ad esempio n=2 possiamo verificare che questa formula restituisce proprio il quadrato di un binomio di cui parlavamo all'inizio della lezione:

 

(a+b)^2=\sum_{k=0}^{2} \frac{2!}{k!(2-k)!}a^{2-k}b^k

 

scriviamo esplicitamente la somma:

 

(a+b)^2=\frac{2!}{0!(2-0)!}a^{2-0}b^0+\frac{2!}{1!(2-1)!}a^{2-1}b^1+\frac{2!}{2!(2-2)!}a^{2-2}b^2

 

Svolgiamo separatamente i calcoli dei coefficienti binomiali, poi sostituiamo nella formula:

 

\\ \frac{2!}{0!(2-0)!}=\frac{2}{1\cdot 2}=1\\ \\ \\ \frac{2!}{1!(2-1)!}=\frac{2\cdot 1}{1\cdot 1}=2\\ \\ \\ \frac{2!}{2!(2-2)!}=\frac{2}{2\cdot 1}=1

 

Sostituendo otteniamo

 

(a+b)^2=1\cdot a^{2-0}b^0+2\cdot a^{2-1}b^1+1\cdot a^{2-2}b^2

 

Ricordando la proprietà delle potenze, per cui x0=1, si ha

 

(a+b)^2=1\cdot a^2+2\cdot a\cdot b+1\cdot b^2

 

cioè proprio la formula che ci aspettavamo!

 

Formula del binomio di Newton e triangolo di Tartaglia

 

Un modo per ricavare immediatamente i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio prevede di ricorrere al triangolo di Tartaglia, di cui vedete riportata una parte in figura:

 

 

Triangolo di Tartaglia

 

 

È facile intuire che il processo di costruzione del triangolo di Tartaglia si può iterare all'infinito. Il punto è che in ogni riga del triangolo potete leggere i coefficienti dello sviluppo del binomio, ad esempio nella prima riga compare solo un 1, infatti

 

(a+b)^0=1

 

due 1 nella seconda riga perché

 

(a+b)^1=1\cdot a+1\cdot b

 

nella terza riga leggiamo 1,2,1; infatti

 

(a+b)^2=1\cdot a^2+2\cdot ab+1\cdot b^2

 

In sostanza avremo

 

 

Potenze di binomi e triangolo di Tartaglia

 

 

In generale, nello sviluppo lungo la riga numero (n+1) abbiamo i coefficienti dello sviluppo della potenza n-esima del binomio: ad esempio riga 5, potenza 4.

 

I coefficienti sono ordinati secondo le potenze descrescente del primo addendo del binomio e secondo le potenze crescenti del secondo addendo. La regola è proprio quella espressa dal binomio di Newton, nel senso che ogni riga contiene un determinato numero di elementi, e in particolare la riga (n+1)-esima contiene (n+1) elementi.

 

Per sviluppare la potenza n-esima guarderemo la riga (n+1)-esima e, partendo da sinistra e dal primo elemento, sarà sufficiente associare ordinatamente ai prodotti i coefficienti presenti sulla riga

 

Ad esempio:

 

\mbox{Riga 5: } (a+b)^{4}=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

 

 


 

Con questo è tutto. Se volete approfondire con un po' di pratica, vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna perché YM è pieno zeppo di esercizi svolti e commentati. Inoltre se volete verificare i risultati dei vostri esercizi potete usare il tool risolvi espressioni, con cui potete ricavare in un solo click lo sviluppo della formula del binomio di Newton. ;)

 

 

\alpha

 

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