Prodotti notevoli

I prodotti notevoli sono formule di calcolo per i polinomi che permettono di calcolare velocemente determinate potenze e prodotti tra polinomi, e viceversa di scomporli. Tali regole vengono chiamate prodotti notevoli perché si riferiscono a prodotti ricorrenti nel calcolo tra polinomi.

 

Come abbiamo visto nelle lezioni precedenti, la moltiplicazione tra polinomi può essere un procedimento lungo ed in cui spesso si commettono errori. Per evitarli è bene prendere confidenza con i prodotti notevoli: esse sono formule di fondamentale utilità pratica che da un lato ci permettono di velocizzare i calcoli, e dall'altro consentono di scomporre moltissimi polinomi.

 

Prima di procedere, un paio di premesse tanto importanti quanto veloci. Qui di seguito ci limitiamo a presentare l'elenco completo con tutti i prodotti notevoli, proponendo pochi esempi con il semplice scopo di trasmettere l'utilità delle formule. Nelle lezioni successive, cui potete accedere dai link che seguono, approfondiremo nel dettaglio ognuno dei prodotti notevoli, mostrando diversi esempi di calcolo e mettendovi in guardia dagli errori più frequenti. ;)

 

Principali prodotti notevoli

 

Quali sono i prodotti notevoli? Quelli più importanti, e più comunemente utilizzabili, sono quelli riportati nella seguente tabella:

 

 

1) Quadrato di un binomio con somma:

 

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

 

2) Quadrato di un binomio con differenza:

 

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

 

3) Prodotto notevole della differenza di quadrati:

 

(a-b)(a+b)=a^2-b^2

 

4) Cubo di un binomio con somma:

 

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

5) Cubo di un binomio con differenza:

 

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

 

6) Prodotto notevole della somma di due cubi:

 

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

 

7) Prodotto notevole della differenza di due cubi

 

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

 

8) Quadrato di un trinomio con somma

 

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

 

9) Quadrato di un trinomio con differenza

 

(a-b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc

 

10) Potenza di un binomio

 

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n} \tbinom{n}{k}a^{n-k}b^k

 

 

Generalmente la conoscenza dell'ultima formula non è richiesta alle scuole superiori, dunque è stata trattata nella lezione binomio di Newton! Ciononostante esiste un metodo non troppo complicato che permette a tutti gli studenti delle Scuole Superiori di calcolare la potenza di un binomio qualsiasi.

 

Nota bene: c'è anche un prodotto notevole molto particolare, che viene utilizzato per scomporre certi trinomi, detto trinomio particolare. Di questo però ce ne occuperemo in un articolo a parte (quello del link).

 

Prima di scappare a leggere la lezione del prodotto notevole che più vi interessa, vi consigliamo di leggere fino in fondo. ;)

 

Perché valgono le formule dei prodotti notevoli

 

Come sempre in matematica ci sono due possibilità: imparare a memoria o capire. Per capire bisogna convincersi che le formule dei prodotti notevoli che abbiamo scritto sopra sono vere, e per farlo non ci resta che sviluppare esplicitamente i prodotti e vedere se effettivamente le formule sono corrette:

 

\\ 1)\ \ \ (a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2\\ \\ 2)\ \ \ (a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2 \\ \\  3)\ \ \ (a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2\\ \\ 4)\ \ \ (a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b)^2(a+b)=

 

\\ =(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=\\ \\ \ \ \ \ =a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

 

... e così via. Per esercizio potete dimostrare che anche le restanti formule sono corrette, ad eccezione della 10) che richiede un po' di lavoro in più.

 

Ovviamente imparare a memoria una trafila di formule è faticoso e non necessariamente utile, perché dopo un paio di giorni si rischia di dimenticare tutto quanto. A questo proposito vorremmo rassicurarvi: non serve imparare a memoria i prodotti notevoli, perché li userete talmente tante volte negli esercizi da impararli automaticamente. ;)

 

Esempio di applicazione dei prodotti notevoli

 

Come abbiamo già anticipato, nelle lezioni successive proporremo tanti esempi su ciascuno dei prodotti notevoli menzionati in precedenza.

 

Per ora limitiamoci a vedere, a titolo esemplificativo, un esercizio tipico in cui si usano i prodotti notevoli: vogliamo riscrivere il seguente polinomio in forma normale

 

P(x)=(x+1)(x-1)+(x+y)^2-(x-y)^2

 

Non abbiamo scelta: o ricordiamo i prodotti notevoli, o facciamo tutti i calcoli. Per il primo prodotto usiamo la formula 1), per sviluppare i quadrati utilizzeremo 2) e 3).

 

\\ P(x)= x^2-1+x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)\\ \\ =x^2-1+x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2=\\ \\ =-1+x^2+2xy+2xy=x^2+4xy-1

 

Prodotti notevoli per la scomposizione dei polinomi

 

Un'altra occasione in cui i prodotti notevoli sono molto utili è la scomposizione dei polinomi, vale a dire la riscrittura di un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore (detta anche fattorizzazione).

 

Riguardiamo velocemente le formule scritte in precedenza. Se da un lato i prodotti notevoli permettono di calcolare un prodotto o una potenza di un polinomio in un solo passaggio, dall'altro possono rivelarsi utili anche per riscrivere un polinomio come prodotto di polinomi di grado inferiore. In pratica, i prodotti notevoli possono essere applicati anche al contrario.

 

E perché dovremmo farlo? Per i motivi più disparati: per il momento non è importante capire quali possano essere gli obiettivi (c'è tempo!) quanto più prendere atto che i prodotti notevoli si prestano anche alla tecnica di scomposizione dei polinomi. Anche in questo caso torneremo a più riprese sull'argomento.

 

Per ora limitiamoci ad un esempio e proviamo a scomporre il polinomio P(x) in fattori:

 

P(x)=x^3-8

 

Notiamo subito che 8=23, quindi possiamo riscrivere

 

x^3-2^3

 

quindi possiamo utilizzare la formula 7):

 

x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+2^2)=(x-2)(x^2+2x+4)

 

Nel contesto della scomposizione di polinomi un ulteriore metodo che torna molto utile è dato dalla regola di Ruffini, di cui però ci occuperemo più avanti.

 

 


 

Se vi sentite già pronti per mettervi alla prova con gli esercizi sui prodotti notevoli, vi rimandiamo alla scheda di esercizi correlati, e nel caso non bastassero sappiate che qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia e migliaia di esercizi. Potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna! ;)

 

Qualche altro spunto interessante: se volete verificare i risultati degli esercizi, potete servirvi del tool risolvi espressioni e di quello per la scomposizione di polinomi. Quest'ultimo vi permette di applicare i prodotti notevoli al contrario, in modo da scomporre un polinomio nel prodotto di polinomi di grado inferiore (se possibile); il primo invece permette di applicare i prodotti notevoli direttamente per riscrivere un prodotto di polinomi come un unico polinomio. :)

 

 

Buon proseguimento su YouMath!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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