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Raccoglimento parziale

Il raccoglimento a fattor comune parziale, o più brevemente raccoglimento parziale, si applica generalmente ai polinomi che presentano un numero pari di termini. L'obiettivo di questo articolo consiste nel fornire un'ulteriore metodo per scomporre un determinato tipo di polinomi: vediamo subito come si procede.

 

Raccoglimento parziale di polinomi

 

Per scomporre un polinomio, la prima cosa da fare è vedere se è possibile effettuare un raccoglimento totale. Se così non fosse, ossia se i monomi che compongono il polinomio dato non avessero alcun fattore comune (né numerico, né letterale) e se nel contempo il polinomio in esame avesse un numero pari di termini, si potrebbe procedere con il raccoglimento parziale.

 

Vediamo come fare aiutandoci con un esempio. Consideriamo il polinomio

 

x^3+x^2+3x+3

 

I quattro monomi (numero pari) che lo compongono sono

 

x^3, \ \ x^2, \ \ 3x, \ \ 3

 

Non essendoci alcun fattore numerico o letterale comune a tutti i monomi, non possiamo procedere con il raccoglimento totale. Osserviamo però che essi sono in numero pari e che tra i primi due monomi

 

x^3 \mbox{ e } x^2

 

possiamo raccogliere il fattore comune x^2, ottenendo

 

x^3+x^2=x^2(x+1)

 

Allo stesso modo, tra gli altri due monomi

 

3x \mbox{ e } 3

 

possiamo raccogliere il fattore comune 3 ed avere

 

3x+3=3(x+1)

 

Abbiamo così ricavato

 

x^3+x^2+3x+3 = \overbrace{x^2{\color{red}(x+1)}}^{x^3+x^2}+\overbrace{3{\color{red}(x+1)}}^{3x+3}

 

Abbiamo una coppia di parentesi tonde uguali. Possiamo quindi raccogliere a fattor comune il termine (x-1):

 

x^3+x^2+3x+3 = x^2(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x^2+3)

 

Il polinomio iniziale è stato fattorizzato, ovvero l'abbiamo scritto come prodotto di altri due polinomi. Quello appena descritto è il raccoglimento a fattor comune parziale.

 

Vediamo di riassumere brevemente il procedimento.

 

Procedimento di raccoglimento parziale

 

I passi da seguire per scomporre correttamente un polinomio utilizzando la fattorizzazione parziale sono i seguenti.

 

1) Assicuriamoci che non si possa effettuare il raccoglimento totale e che i termini che formano il polinomio siano in numero pari.

 

2) Suddividiamo i vari termini in coppie tali da avere un fattore comune (come vedremo in un esempio, a volte, tali coppie possono essere scelte in più modi senza avere ripercussioni sul risultato finale).

 

3) Raccogliamo il fattore comune per ogni coppia di monomi scelta.

 

4) Assicuriamoci che le parentesi tonde ottenute dopo ogni raccoglimento siano uguali. Se così non fosse, dovremmo effettuare un raccoglimento differente o, nella peggiore delle ipotesi, abbandonare l'idea del raccoglimento parziale.

 

5) Raccogliamo a fattor comune le parentesi tonde uguali ottenute al punto precedente.

 

Abbiamo finito: il raccoglimento parziale può dirsi concluso.

 

Esempi sul raccoglimento a fattor comune parziale

 

Applichiamo il procedimento per scomporre il seguente polinomio

 

a^3-5a-a^2+5

 

Non abbiamo alcun fattore comune tra i 4 monomi che formano il polinomio in esame; inoltre il primo ed il terzo monomio hanno in comune il fattore a^2 e gli altri due il fattore 5.

 

Evidenziamo le due coppie con colori diversi

 

{\color{blue}a^3}{\color{red}-5a}{\color{blue}-a^2}{\color{red}+5}

 

e raccogliamo, per ciascuna coppia, il fattore comune individuato in precedenza:

 

{\color{blue}a^3}{\color{red}-5a}{\color{blue}-a^2}{\color{red}+5}=a^2(a-1)+5(-a+1)

 

Siamo così arrivati al punto 4) del procedimento. Diamo uno sguardo alle parentesi tonde: non sono uguali, nello specifico differiscono per un segno. Possiamo aggirare tale inconveniente (che si presenterà spesso in questo genere di esercizi) raccogliendo nella coppia rossa il fattore -5. Avremo così

 

{\color{blue}a^3}{\color{red}-5a}{\color{blue}-a^2}{\color{red}+5}=a^2(a-1)-5(a-1)

 

Per concludere raccogliamo a fattor comune il polinomio a-1, così da avere

 

{\color{blue}a^3}{\color{red}-5a}{\color{blue}-a^2}{\color{red}+5}=a^2(a-1)-5(a-1)=(a-1)(a^2-5)

 

 

Altri esempi sul raccoglimento parziale per polinomi

 

 \bullet \ x^3+x^2y-2xy-2y^2

 

Dopo esserci assicurati che non è presente alcun fattore comune tra i monomi che formano il polinomio da scomporre, possiamo ad esempio raccogliere il fattore x^2 tra i primi due monomi e -2y tra gli ultimi due.

 

Avremo così

 

x^3+x^2y-2xy-2y^2=x^2{\color{red}(x+y)}-2y{\color{red}(x+y)}=(x+y)(x^2-2y)

 

Prima di procedere, una piccola osservazione: volendo avremmo potuto accoppiare i monomi in modo diverso

 

{\color{blue}x^3}{\color{red}+x^2y}{\color{blue}-2xy}{\color{red}-2y^2}

 

e raccogliere il fattore comune x tra i monomi in blu ed il fattore y tra i monomi in rosso, ricavando

 

{\color{blue}x^3}{\color{red}+x^2y}{\color{blue}-2xy}{\color{red}-2y^2}=x(x^2-2y)+y(x^2-2y)=(x^2-2y)(x+y)

 

che, in virtù della proprietà commutativa della moltiplicazione, è uguale alla scomposizione ricavata precedentemente.

 

L'esempio appena visto serve a mettere in luce un aspetto importante della scomposizione con raccoglimento parziale: non vi è necessariamente un unico modo di scegliere le coppie di monomi tra cui si effettua la prima parte del raccoglimento!

 

 

Concludiamo con un ultimo esempio considerando un polinomio di 6 termini da scomporre con il raccoglimento parziale.

 

\bullet \ 4x^3 - 6 x^2y + 2x^2z - 4ax^2 + 6axy - 2axz

 

Possiamo innanzitutto raccogliere totalmente il fattore 2x:

 

4x^3 - 6 x^2y + 2x^2z - 4ax^2 + 6axy - 2axz=2x(2x^2 - 3xy + xz - 2ax + 3ay - az)

 

A questo punto, per il polinomio tra parentesi tonde tonde, possiamo effettuare un raccoglimento parziale accoppiando i monomi nel modo seguente

 

{\color{blue}2x^2} {\color{red}- 3xy} {\color{DarkGreen}+ xz} {\color{blue}- 2ax} {\color{red}+ 3ay} {\color{DarkGreen}- az}

 

e raccogliere 2x tra i monomi in blu, -3y tra i monomi in rosso e z tra i monomi in verde.

 

{\color{blue}2x^2} {\color{red}- 3xy} {\color{DarkGreen}+ xz} {\color{blue}- 2ax} {\color{red}+ 3ay} {\color{DarkGreen}- az}={\color{blue}2x}(x-a) {\color{red}- 3y}(x-a) {\color{DarkGreen}+ z}(x-a)

 

Perfetto! Abbiamo tre termini uguali (le parentesi tonde) e possiamo ultimare il raccoglimento parziale

 

2x^2 - 3xy + xz - 2ax + 3ay - az = 2x(x-a) -3y(x-a) + z (x-a) = (x-a)(2x-3y+z)

 

 


 

 

Se a questo punto ti stai chiedendo a cosa serve il raccoglimento parziale, sappi che ha svariati utilizzi, tra cui la risoluzione di equazioni e disequazioni di grado superiore al secondo. Hai ancora dubbi o problemi? Puoi trovare tutte le risposte a quello che cerchi utilizzando l'apposita barra di ricerca. Smile

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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A proposito: ci sono anche esercizi risolti sul raccoglimento parziale e totale... ;)

 

 


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