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Raccoglimento parziale

Il raccoglimento a fattor comune parziale, o più brevemente raccoglimento parziale, si applica generalmente con polinomi che presentano un numero pari di termini. L'obiettivo di questo articolo è quello di fornire un'ulteriore metodo per scomporre un determinato tipo di polinomi: vediamo subito qualche esempio.

 

Raccoglimento parziale per polinomi di quattro termini

 

Consideriamo il polinomio P(x)

 

P(x)=x^3-x^2-3x+3

 

ed effettuaimo un raccoglimento a fattor comune parziale. Come si fa? Sembra difficile, a meno di notare che raccogliendo x2 tra i primi due termini e -3 tra gli ultimi due si ha

 

x^3-x^2-3x+3=x^2(x-1)-3(x-1)

 

E ora? Osservate come il fattore (x-1) sia ripetuto in entrambi gli addendi del polinomio, dunque possiamo raccoglierlo a sua volta:

 

x^3-x^2-3x+3=x^2(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x^2-3)

 

In questo modo abbiamo fattorizzato il polinomio. Cosa abbiamo ottenuto realmente? Prima di tutto calcolare le radici del polinomio fattorizzato è molto più semplice. Poniamo P(x)=0 e risolviamo l'equazione di grado superiore al secondo

 

x^3-x^2-3x+3=0

 

poiché

 

x^3-x^2-3x+3=(x-1)(x^2-3)

 

possiamo risolvere in modo del tutto equivalente

 

(x-1)(x^2-3)=0

 

Il vantaggio è che possiamo applicare la legge di annullamento del prodotto, risolvendo separatamente

 

x-1=0

 

e

 

x^2-3=0

 

per poi unire le soluzioni delle due equazioni, che è un modo elegante per dire che le consideriamo tutte! Dalla prima equazione otteniamo

 

x=1

 

dalla seconda invece

 

x_{1,2}=\pm\sqrt{3}

 

Dunque le radici del polinomio sono:

 

\{1,\sqrt{3},-\sqrt{3}\}

 

Raccoglimento parziale per polinomi di sei termini

 

Consideriamo il polinomio P(x) costituito da sei termini

 

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x

 

e procediamo per raccoglimento parziale. Raccogliamo il massimo grado possibile tra i termini a due a due:

 

x^5(x+1)+x^3(x+1)+x(x+1)

 

Raccogliamo il fattore (x+1)

 

(x+1)(x^5+x^3+x)

 

Per semplificarci la vita cerchiamo di fattorizzare il polinomio in modo che i fattori abbiano il minor grado possibile, ora il primo fattore ha grado 1, mentre il secondo ha grado 5, ma raccogliendo x tra tutti i suoi termini (raccoglimento totale) otteniamo una nuova fattorizzazione composta da tre fattori:

 

(x+1)(x)(x^4+x^2+1)

 

Riscriviamola meglio

 

x(x+1)(x^4+x^2+1)

 

in questo modo abbiamo una fattorizzazione del polinomio data da due fattori di grado 1 e uno di grado 4.

 

Ancora una volta questo metodo ci permette di trovare la scomposizione grazie a cui è molto più semplice risalire alle radici del polinomio:

 

x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x

 

\begin{matrix} x=0 \\ \\ x+1=0 \\ \\ x^4+x^2+1=0 \end{matrix}

 

Risolvendo si ha

 

\begin{matrix} x=0 \\ \\ x=-1 \\ \\ \mbox{non ammette soluzioni}\end{matrix}

 

Dunque, le radici reali del polinomio sono date da

 

\{-1,0\}

 


 

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