Raccoglimento totale per polinomi

Il raccoglimento totale è una regola di scomposizione dei polinomi che permette, ove possibile, di raccogliere un termine comune tra tutti i termini di un polinomio, e quindi di esprimere il polinomio come prodotto di due fattori.

 

La prima tecnica di scomposizione di polinomi di cui vogliamo parlarvi è la più semplice, e peraltro la più ricorrente: vediamo come effettuare il raccoglimento totale per i polinomi che lo permettono.

 

Raccoglimento totale di polinomi

 

Se sei arrivato a studiare il raccoglimento totale dovresti sapere cos'è un polinomio (ovvero un'espressione finita formata da somme algebriche tra due o più monomi). Se un fattore è ripetuto per tutti gli addendi allora è possibile raccoglierlo, ovvero è possibile effettuare un raccoglimento a fattor comune totale tra tutti i monomi che formano il polinomio.

 

Vediamo come si procede aiutandoci con un esempio: consideriamo il polinomio

 

12x^6+8x^3+16x^2y

 

Tale polinomio è formato dai 3 monomi

 

12x^6,\ \ \ 8x^3,\ \ \ 16x^2y

 

ciascuno formato da una parte numerica ed una parte letterale. Per effettuare il raccoglimento totale ed essere sicuri di non dimenticare nulla per strada, si procede nel modo seguente:

 

 

1) si individua il più grande fattore comune tra le parti numeriche di ogni monomio.

 

Per il polinomio che ci siamo proposti di scomporre, visto che

 

12= 3 \cdot 4, \ \ 8 = 2 \cdot 4, \ \ 16 = 4 \cdot 4

 

il fattore numerico che raccoglieremo sarà 4.

 

 

2) Si passa poi all'analisi della parte letterale. Semplicemente, guardando il polinomio in esame, si individuano quelle lettere che compaiono in ogni monomio. Senza ombra di dubbio, nel nostro caso, la lettera presente in ogni monomio è la x e sarà proprio il termine da raccogliere a fattor comune con l'esponente più piccolo con cui compare.

 

Nel polinomio

 

12x^6+8x^3+16x^2y

 

raccoglieremo, per quanto riguarda la parte letterale, il termine x^2.

 

 

3) Ultimiamo il raccoglimento. Scriviamo il monomio che abbiamo individuato (formato dalla parte numerica e dalla parte letterale scelte)

 

4x^2

 

e dividiamo ciascun termine del polinomio iniziale per il monomio che intendiamo raccogliere, scrivendo i risultati in una coppia di parentesi tonde, che moltiplicherà monomio raccolto.

 

Essendo

 

12x^6 : 4x^2=3x^4, \ \ 8x^3:4x^2=2x, \ \ 16x^2y:4x^2 = 4y

 

il raccoglimento a fattor comune totale del polinomio di partenza sarà dato da:

 

12x^6+8x^3+16x^2y = 4x^2 (3x^4+2x+4y)

 

È (quasi) inutile dire che in quest'ultimo passaggio è indispensabile sapere come si esegue la divisione tra monomi e soprattutto occorre avere dimestichezza con le proprietà delle potenze.

 

 

4) Accertiamoci che il calcoli effettuati siano corretti.

 

Nello specifico, una volta scomposto il polinomio:

 

- eseguiamo il prodotto finale: dobbiamo ottenere come risultato il polinomio iniziale. In caso contrario c'è qualcosa di sbagliato nello svolgimento! ;)

 

- Diamo un'occhiata al polinomio tra parentesi tonde. Se è ancora presente una lettera, un fattore numerico o comunque un termine comune a tutti i monomi che formano il polinomio, significa che non abbiamo raccolto tutto ciò che poteva essere raccolto.

 

 

Verifica della scomposizione per raccoglimento totale

 

Ad esempio, supponiamo di aver effettuato un raccoglimento totale e di aver ricavato la seguente scomposizione:

 

4x^3y+2x^2y^2 = 2x^2(2xy+y^2)

 

Fermi tutti: è vero che il prodotto a secondo membro restituisce il polinomio iniziale, ma nei termini del polinomio tra tonde compare una lettera comune a tutti i monomi (la y), per cui il raccoglimento totale è incompleto. Dobbiamo raccogliere anche il termine sopravvissuto!

 

4x^3y+2x^2y^2 = 2x^2y(2x+y)

 

Questo, sì, è il giusto raccoglimento totale per il polinomio 4x^3y+2x^2y^2.

 

Esempi sul raccoglimento totale di polinomi

 

Per prendere maggior confidenza la scomposizione tramite raccoglimento totale vediamo qualche altro esempio, non prima però di avervi fatto osservare che nel passaggio 2) non facciamo altro che individuare il massimo comun divisore tra i monomi che costituiscono il polinomio, senza però tener conto della parte numerica della quale ci siamo occupati precedentemente.

 

 

Esempio 1

 

Proponiamoci di scomporre mediante raccoglimento totale il polinomio

 

-3a^3b-9a^2b^2c-6a^5b^3

 

I tre monomi che formano il polinomio sono

 

-3a^3b,\ \ \ -9a^2b^2c,\ \ \ -6a^5b^3

 

Per quanto riguarda la parte numerica il più grande fattore comune è 3. Attenzione però! Poiché tutti i coefficienti numerici hanno segno meno, raccoglieremo un fattore numerico -3. Questa è una regola che vale in generale: se tutti i monomi hanno segno negativo, raccogliamo a fattor comune un monomio di segno negativo.

 

Per la parte letterale abbiamo due lettere che compaiono in ogni monomio, a \mbox{ e } b. L'esponente più piccolo con cui compare il fattore a è 2, mentre l'esponente più piccolo con cui compare il fattore b è 1. Conseguentemente raccoglieremo a fattor comune il monomio -3a^2b.

 

Poiché

 

-3a^3b : (-3a^2b) = a, \ -9a^2b^2c : (-3a^2b) = 3bc, \ -6a^5b^3 : (-3a^2b) = 2a^3b^2

 

si ha

 

-3a^3b-9a^2b^2c-6a^5b^3=-3a^2b(a+3bc+2a^3b^2)

 

Come potete osservare nel polinomio tra tonde non abbiamo alcun fattore (numerico né letterale) in comune tra tutti i monomi. Inoltre se proviamo a calcolare il prodotto finale della scomposizione

 

-3a^2b(a+3bc+2a^3b^2) =-3a^3b-9a^2b^2c-6a^5b^3

 

otteniamo proprio il polinomio di partenza. Possiamo quindi dormire sonni tranquilli!

 

 

Esempio 2

 

Scomponiamo ora il polinomio

 

5x^3y^2z + x^2y^3z^3 - 10x^4y^4z^4 - 15x^2y^2z^2

 

Com'è naturale che sia, maggiore è la confidenza acquisita col metodo, maggiore sarà il numero di passaggi che potremo effettuare in un colpo solo. Ehi prof, giù quel fucile, non è un incentivo a saltare i passaggi: vogliamo semplicemente dire che, con un filo d'esperienza, potremo individuare in un solo colpo la parte numerica e la parte letterale del fattore da raccogliere.

 

Nel caso dell'esempio in analisi, raccoglieremo totalmente il termine x^2y^2z (in particolare essendoci un monomio x^2y^3z^3 che ha come parte numerica 1, si capisce subito che non possiamo raccogliere alcun fattore numerico comune).

 

Individuato il monomio da raccogliere, possiamo eseguire a mente la divisione tra i termini del polinomio iniziale ed il fattore che abbiamo raccolto:

 

5x^3y^2z + x^2y^3z^3 - 10x^4y^4z^4 - 15x^2y^2z^2 = x^2y^2z (5x+yz^2-10x^2y^2z^3-15z)

 

A voi il compito di verificare che quanto appena scritto sia corretto. ;)

 

Raccoglimento totale con fattore dato da un polinomio 

 

Per concludere ci teniamo a farvi notare che potrebbe capitare di dover raccogliere a fattor comune totale un intero polinomio. Questo accadrà sempre alla fine di un raccoglimento parziale, tecnica di cui ci occupiamo nella lezione successiva).

 

Niente paura: se si ragiona in termini di fattore comune non vi è nulla di nuovo rispetto a quanto appena visto. Ad esempio, se ci troviamo di fronte ad una espressione tipo

 

3(x-1)^4+6x(x-1)^2-(x-1)^3

 

possiamo raccogliere a fattor comune il polinomio (x-1)^2. Infatti tra i tre termini che formano la nostra somma algebrica abbiamo come fattore comune (x-1), che raccoglieremo con il suo esponente più piccolo, ovvero 2.

 

Avremo così

 

3(x-1)^4+6x(x-1)^2-(x-1)^3=(x-1)^2[3(x-1)^2+6x-(x-1)]

 

A questo punto, pur non essendo necessario, possiamo sviluppare il quadrato di binomio all'interno della coppia di parentesi quadre e togliere la coppia di parentesi tonde attendoci alla regola dei segni

 

\\ 3(x-1)^4+6x(x-1)^2-(x-1)^3=(x-1)^2[3(x-1)^2+6x-(x-1)]=\\ \\ =(x-1)^2[3(x^2-2x+1)+6x-x+1]=(x-1)^2[3x^2-6x+3+6x-x+1]=

 

e infine sommare i monomi simili

 

=(x-1)^2(3x^2-x+4)

 

 


 

È tutto ragazzi! Se, com'è giusto che sia, vi state chiedendo a cosa serve il raccoglimento totale per polinomi, per il momento possiamo dirvi che d'ora in poi lo incontrerete un numero illimitato di volte e la farà da padrone soprattutto quando vi ritroverete a semplificare le frazioni algebriche e a risolvere disequazioni o equazioni di grado superiore a due.

 

Se volete allenarvi un po', potete mettervi alla prova con la scheda di esercizi proposti o con la scheda di esercizi svolti, e se dovete verificare i risultati dei vostri esercizi potete usare il tool per la scomposizione di polinomi.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva

 

A proposito: ci sono anche esercizi risolti sul raccoglimento parziale e totale... ;)


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