Potenza di un binomio

Con potenza di un binomio ci si riferisce ad una tecnica per calcolare la potenza con esponente intero positivo di un polinomio costituito da due termini. È un procedimento grazie a cui è possibile scrivere lo sviluppo della potenza n-esima velocemente senza fare i calcoli.

 

Vediamo come si calcola la potenza di un binomio e come ragionare per sviluppare una qualsiasi potenza di un binomio del tipo (x+y)^n. Premettiamo sin da subito che esiste anche una formula compatta che consente di conseguire lo stesso obiettivo; la presenteremo a parte nella lezione successiva, perché non è alla portata degli studenti delle scuole superiori.

 

Qui invece ci occuperemo proprio del metodo adatto per il liceo. Tenete inoltre in conto che il metodo per la potenza di un binomio racchiude in sé buona parte dei prodotti notevoli relativi alle potenze di binomi.

 

Metodo di Tartaglia per calcolare la potenza di un binomio

 

Se uno studente del liceo volesse calcolare la potenza n-esima di un binomio, dovrebbe applicare un procedimento molto semplice basato sull'uso del triangolo di Tartaglia.

 

 

Triangolo di Tartaglia

 

 

 

Per chi non lo conoscesse, si tratta di un triangolo costruito come in figura in cui:

 

- tutti i numeri sui lati esterni sono uguali a 1;

- i numeri nelle posizioni interne si calcolano sommando i due numeri soprastanti (nella riga precedente);

- la costruzione procede all'infinito.

 

Ad esempio, la riga successiva del triangolo di Tartaglia che non è rappresentata in figura è

 

1\ \ \ 5\ \ \ 10\ \ \ 10\ \ \ 5\ \ \ 1

 

e quella successiva ad essa

 

1\ \ \ 6\ \ \ 15\ \ \ 20\ \ \ 15\ \ \ 6\ \ \ 1

 

e così via...

 

Cosa cavolo c'entra il Triangolo di Tartaglia con la potenza di un binomio?

 

Il metodo del triangolo di Tartaglia serve per calcolare i coefficienti dei termini dello sviluppo della potenza di un binomio.

 

0) Prendiamo la potenza con esponente 0 di (x+y)

 

(x+y)^0=1

 

1) Prendiamo la potenza con esponente 1 di (x+y)

 

(x+y)^1=1x+1y

 

2) Prendiamo la potenza con esponente 2 di (x+y) (quadrato del binomio)

 

(x+y)^2=1x^2+2xy+1y^2

 

3) Prendiamo la potenza con esponente 3 di (x+y) (cubo del binomio)

 

(x+y)^3=1x^3+3x^2y+3xy^2+1y^3

 

Non notate nulla di strano nei coefficienti...?

 

Si può dimostrare (e non lo facciamo qui) che i coefficienti della potenza n-esima sono sempre i numeri della riga (n+1)-esima del Triangolo di Tartaglia:

 

- ad esempio, la potenza con n=0 è data dai coefficienti della riga (0+1)=1 del Triangolo di Tartaglia;

 

- ad esempio, la potenza con n=2 è data dai coefficienti della riga (2+1)=3.

 

Come ci comportiamo con gli esponenti dei singoli addendi?

 

Ci basta notare che in ogni prodotto x^{esponente}y^{esponente} la somma dei due esponenti deve coincidere con n, e che andando da sinistra a destra dobbiamo percorrerle tutte.

 

Inoltre dobbiamo partire dalla potenza massima (n) per il primo termine del binomio, fino ad arrivare alla potenza minima (0). L'esponente del secondo addendo del binomio lo deduciamo per differenza.

 

Prendiamo come esempio

 

(x+y)^3

 

Primo termine: l'esponente massimo di x è n=3, quello di y lo ricaviamo per differenza: n-3=3-3=0.

 

x^3y^0=x^3

 

Secondo termine: togliamo un grado all'esponente di x, dunque prendiamo 2. L'esponente di y lo ricaviamo per differenza dal grado massimo: n-2=3-2=1.

 

x^2y^1=x^2y

 

È chiaro come funziona? Terzo termine:

 

x^1y^2=xy^2

 

Quarto termine:

 

x^0y^3=y^3

 

Mettiamo insieme coefficienti e fattori

 

(x+y)^3=1x^3+3x^2y+3xy^2+1y^3

 

Esempio di calcolo della sesta potenza di un binomio

 

Se ad esempio volessimo calcolare la sesta potenza del binomio (x+y), come dovremmo procedere?

 

(x+y)^6

 

ci converrebbe riscrivere la corrispondente riga del Triangolo di Tartaglia

 

1\ \ \ 6\ \ \ 15\ \ \ 20\ \ \ 15\ \ \ 6\ \ \ 1

 

e mettere in moto la macchina infernale...

 

(x+y)^6=1x^6y^0+6x^5y^1+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6x^1y^5+1x^0y^6

 

ossia

 

(x+y)^6=x^6+6x^5y+15x^4y^2+20x^3y^3+15x^2y^4+6xy^5+y^6

 

Come mi comporto con la potenza di un binomio differenza?

 

Niente paura: anche se volessimo calcolare la potenza di un binomio differenza, cioè

 

(x-y)^n

 

potremmo sempre ricondurci al procedimento appena visto. Ci basterebbe riscrivere la differenza come

 

(x-y)^n=[x+(-y)]^n

 

e i segni dei vari termini verrebbero fuori dalle varie potenze di (-y).

 

Esempio

 

(x^2-3)^4

 

Prendiamo la quinta riga del Triangolo di Tartaglia

 

1\ \ \ 4\ \ \ 6\ \ \ 4\ \ \ 1

 

e procediamo

 

(x^2-3)^4=[x^2+(-3)]^4

 

dove chiamiamo a=x^2\mbox{ e }b=(-3)

 

[a+b]^4=1a^4b^0+4a^3b^1+6a^2b^2+4a^1b^3+1a^0b^4

 

cioè

 

[a+b]^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

 

e di conseguenza

 

\\ (x^2-3)^4=[x^2+(-3)]^4=\\ \\ =(x^2)^4+4(x^2)^3(-3)+6(x^2)^2(-3)^2+4(x^2)(-3)^3+(-3)^4

 

e da qui basta applicare le proprietà delle potenze e fare dei semplicissimi conticini...

 

 


 

Nella prossima lezione tradurremo in vero e proprio matematichese il procedimento appena visto, e vedremo la formula del binomio di Newton, che permetterà di calcolare le potenze di un binomio del tipo (x+y)^n con qualsiasi esponente n intero e positivo. Ribadiamo però che tale formula non sarà mai richiesta ad uno studente delle Scuole Superiori.

 

Se volete esercitarvi un po', vi raccomandiamo di usare la barra di ricerca interna: qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. Inoltre, potete anche usare il tool risolvi espressioni con cui potete verificare i risultati delle potenze dei binomi che dovete calcolare per casa. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

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