Espressioni con frazioni algebriche

Le espressioni con frazioni algebriche sono espressioni matematiche definite mediante le comuni operazioni, applicate a due o più frazioni algebriche, e che possono essere ridotte ad un'unica frazione algebrica mediante semplici calcoli.

 

In questo articolo vedremo come semplificare le espressioni con frazioni algebriche. In particolare mostreremo come svolgere le operazioni tra frazioni algebriche: i procedimenti non sono difficili, anche se potrebbero sembrarlo per chi è alle prime armi.

 

Di buono c'è che le operazioni con le frazioni algebriche ricordano molto le operazioni tra frazioni, quindi si imparano piuttosto velocemente. Ad ogni modo mediante appositi esempi guidati vi faremo vedere come sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere due o più frazioni algebriche tra loro, in modo da riuscire a risolvere le espressioni con le frazioni algebriche che coinvolgono una o più operazioni. ;)

 

Espressioni con somma di frazioni algebriche

 

Per esporre i passi da seguire, utilizzeremo un esercizio guidato. Vogliamo determinare la seguente somma di frazioni algebriche:

 

\frac{x-1}{x^2- y^2}+ \frac{y-1}{xy-y^2}

 

1) Scomponiamo tutti i denominatori presenti nell'espressione, in modo da ricavarne le relative fattorizzazioni.

 

I numeratori delle due frazioni algebriche sono irriducibili. Per il denominatore della prima applichiamo la regola per la differenza di quadrati

 

x^2- y^2= (x- y)(x+y)

 

mentre per il denominatore della seconda effettuiamo un raccoglimento totale

 

x y - y^2= y (x-y) 

 

1a) Determiniamo i valori per i quali i denominatori si annullano per imporre le condizioni di esistenza.

 

Nel nostro caso dobbiamo richiedere x\ne y\ ;\  x\ne -y\ ;\ y\ne 0.

 

2) Determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi presenti nei denominatori, esso diverrà il cosiddetto denominatore comune.

 

Calcolando il minimo comune multiplo tra

 

\\ x^2- y^2=(x-y)(x+y)\\ \\ x y - y^2=y(x-y)

 

troviamo come denominatore comune il polinomio dato dal prodotto tra i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente

 

\mbox{mcm}(x^2- y^2\ ;\ x y - y^2)=y(x-y)(x+ y)

 

3) Dividiamo il denominatore comune ottenuto per ciascun denominatore che compare nell'espressione, e moltiplichiamo il risultato con i rispettivi numeratori.

 

\\ \frac{x-1}{x^2-y^2}+\frac{y-1}{xy-y^2}\\ \\ \\ \quad [y(x-y)(x+ y)]:[(x-y)(x+y)]=y\ \ \ \to\ \ \ y\cdot (x-1)\\ \\ \quad [y(x-y)(x+ y)]:[y(x-y)]=x+y\ \ \ \to\ \ \ (x+y)\cdot (y-1)

 

Per cui riscriviamo la somma come un'unica frazione algebrica

 

\frac{y(x-1)+(x+y)(y-1)}{y (x-y)(x+y)}

 

4) Eseguiamo i prodotti al numeratore, facendo sempre attenzione ai segni:

 

\frac{yx-y+ x y + y^2-x - y}{y (x-y)(x+y)}

 

5) Sommiamo i monomi simili

 

\frac{y^2+2 x y - 2 y -x}{y (x-y)(x+ y)}

 

6) Abbiamo finito: a questo punto si riduce la frazione algebrica risultante, se possibile.

 

Nel nostro esempio non è possibile ridurre ulteriormente perché il numeratore e il denominatore sono coprimi, hanno cioè massimo comun divisore uguale ad 1.

 

Espressioni con differenza di frazioni algebriche

 

Per la differenza di frazioni algebriche ragioneremo nello stesso identico modo rispetto alla somma, prestando solo un po' più di attenzione ai segni. Anche in questo caso, evidenziamo i passaggi utilizzando un esempio.

 

\frac{x}{x-1}- \frac{x+1}{x^2-x}

 

Fattorizziamo i numeratori ed i denominatori. I primi sono irriducibili, inoltre

 

x-1

 

è irriducibile, e per il denominatore della seconda frazione algebrica effettuiamo un raccoglimento totale

 

x^2- x= x(x-1)

 

Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori siano diversi da zero:

 

\\ x-1\ne 0\implies x\ne 1\\ \\ x(x-1)\ne 0 \implies x\ne 0\ \vee\ x\ne 1

 

dove nel secondo caso abbiamo fatto ricorso alla legge di annullamento del prodotto.

 

Ora determiniamo il minimo comune multiplo tra i polinomi dei denominatori, che coinciderà con il denominatore comune della differenza. Nel nostro caso è

 

\mbox{mcm}(x-1\ ;\ x^2-x)=x(x-1)

 

Dividiamo il minimo comun denominatore ottenuto per ciascun denominatore che compare nella espressione e il risultato lo moltiplichiamo con i rispettivi numeratori.

 

\frac{x^2-(x+1)}{x(x-1)}

 

ed infine eseguiamo i prodotti al numeratore - attenzione ai conti - soprattutto quando compaiono dei segni meno

 

 \frac{x^2-x-1}{x(x-1)}

 

Sommiamo i monomi simili: nell'esempio riportato non ce ne sono. Quindi, semplifichiamo gli eventuali fattori comuni tra il numeratore e il denominatore.

 

A proposito, se volete vedere un altro esempio: differenza di frazioni algebriche.

 

Espressioni con prodotto tra frazioni algebriche

 

Il prodotto tra due o più frazioni algebriche è ancora una frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto tra i numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

 

Questo vale ovviamente a livello teorico e in termini di definizione. A livello pratico è necessario fare un piccolo sforzo in più: per risolvere gli esercizi infatti fattorizzeremo tutti i termini che appaiono nell'espressione, dopodiché semplificheremo a croce i fattori comuni, un po' come avviene con la moltiplicazione tra frazioni.

 

Vediamo un esempio?

 

\frac{x^2 +y x}{x^2- y^2} \cdot \frac{x-y}{x^2 y}

 

Per prima cosa scomponiamo tutti i termini che compaiono nell'espressione:

 

\frac{x(x+y)}{(x-y) (x+y)}\cdot \frac{x-y}{x^2 y}

 

Semplifichiamo x+y tra numeratore e denominatore nella prima frazione algebrica:

 

\frac{x}{x-y}\cdot \frac{x-y}{x^2 y}

 

eliminiamo il termine x semplificando a croce

 

\frac{1}{x-y}\cdot \frac{x-y}{x y}

 

ed infine semplifichiamo a croce x-y 

 

\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{x y}

 

Infine moltiplichiamo tra loro i numeratori e i denominatori

 

\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{x y}= \frac{1}{x y}

 

Abbiamo finito. Rispetto alla somma e alla differenza, il prodotto di frazioni algebriche è abbastanza abbordabile ;) (click sul link per un altro esempio).

 

Espressioni con divisione tra espressioni algebriche

 

Prima di esporre come eseguire la divisione tra due frazioni algebriche dobbiamo introdurre un nuovo concetto: il reciproco di una frazione.

 

Il reciproco di una frazione algebrica è ancora una frazione algebrica che si ottiene cambiando tra loro il numeratore e denominatore della frazione data. 

 

- Il reciproco della frazione \frac{x}{y+1} è

 

\frac{y+1}{x}

 

- Il reciproco della frazione \frac{x^2+y^2}{x^2+ x y} è

 

\frac{x^2+ x y}{x^2+ y^2}

 

- Il reciproco della frazione x^2+ x+ y è

 

\frac{1}{x^2 + x + y}.

 

Bene, siamo pronti per vedere come calcolare il rapporto (divisione) tra due frazioni algebriche: esso è ancora una frazione algebrica e si ottiene moltiplicando la prima per il reciproco della seconda.

 

Anche qui vediamo un esempio:

 

\frac{x^2+2x+1}{x^3+ y^3}: \frac{x^2-1}{x^2-y^2}

 

Secondo la regola che abbiamo dato, potremo scrivere

 

\frac{x^2+2x+1}{x^3+ y^3}\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2-1}

 

Ok, abbiamo trasformato la divisione in una moltiplicazione. Ora fattorizziamo tutti i termini delle frazioni:

 

\frac{(x+1)^2}{(x+y)(x^2- x y+ y^2)}\cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-1)(x+1)}

 

Non ci rimane altro che semplificare il semplificabile

 

\frac{x+1}{x^2- x y +y^2}\cdot \frac{x-y}{x-1}

 

Moltiplichiamo infine numeratore con numeratore e denominaotre con denominatore:

 

\frac{(x+1)(x-y)}{(x^2- x y +y^2)(x-1)}= \frac{x+ x^2- y - x y}{x^3- x^2 + x y - x^2 y- y^2+ x y^2}

 

Per un altro esempio, vedi divisione tra frazioni algebriche.

 

 


 

Eccoci, abbiamo finito! Come al solito vi invitiamo a fare un po' di allenamento con la scheda correlata di esercizi svolti, e nel caso a consultare tanti altri esercizi risolti: potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna! ;)

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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