Semplificare le frazioni algebriche

La semplificazione di frazioni algebriche è un procedimento con cui è possibile individuare una frazione algebrica equivalente a quella data, il quale prevede di scomporre i polinomi che definiscono la frazione algebrica e semplificare i termini in comune.

 

Nella precedente lezione abbiamo visto (tra le altre cose) che, partendo da una frazione algebrica, possiamo generarne infinite altre ad essa equivalenti. Ha quindi senso chiedersi se è possibile determinare la frazione algebrica equivalente più semplice. L'operazione che permette di farlo si chiama semplificazione delle frazioni algebriche.

 

Prima di vedere il procedimento pratico che permette di semplificare una frazione algebrica, ove possibile, dobbiamo dare una definizione fondamentale. Non ci vorrà molto e oltretutto il metodo non è affatto difficile, promesso! ;)

 

Come semplificare una frazione algebrica

 

Cominciamo con la definizione di frazione algebrica ridotta ai minimi termini: siano C(x) e D(x) due polinomi, il secondo dei quali non nullo. Diciamo che la frazione algebrica \frac{C(x)}{D(x)} è irriducibile, o ridotta ai minimi termini, se i due polinomi C(x) e D(x) non hanno fattori comuni.

 

In altri termini una frazione algebrica è irriducibile quando il massimo comun divisore tra il polinomio al numeratore e il polinomio al denominatore è 1, in caso contrario diremo che la frazione algebrica non è ridotta e che può essere semplificata o riducibile.

 

 

Esempi di frazioni algebriche riducibili e irriducibili

 

\frac{x^2}{x^2-1}

 

è irriducibile perché \mbox{MCD}(x^2, x^2-1)= 1.

 

\frac{x^2-1}{x-1}

 

è riducibile perché \mbox{MCD}(x^2-1, x-1)= x-1.

 

\frac{2a x +x}{x^2(2a+1)}

 

è riducibile perché \mbox{MCD}(2ax+ x, x^2(2a+1))=(2a+1) x.

 

Come ridurre una frazione algebrica e renderla irriducibile

 

In termini generali con l'espressione semplificare una frazione algebrica si intende determinare, a partire da una frazione algebrica riducibile, una frazione algebrica irriducibile e ad essa equivalente.

 

In linea teorica, per rendere irriducibile una frazione algebrica è sufficiente dividere il numeratore e il denominatore per il loro massimo comun divisore. Nella risoluzione degli esercizi però non si calcola esplicitamente il MCD tra i due polinomi (dividendo e divisore) e si preferisce procedere in modo diverso e più veloce.

 

Seguiremo due passaggi:

 

1) Scomporre i polinomi al numeratore e al denominatore.

 

2) Dividere numeratore e denominatore per il prodotto dei fattori comuni, in modo da semplificarli, precisando ove necessario il campo di esistenza della frazione algebrica.

 

Entrambi i passaggi presentano delle difficoltà, però non scoraggiamoci e vediamo subito qualche esempio!

 

Esempi sulla semplificazione delle frazioni algebriche

 

Come primo esempio, vogliamo semplificare la seguente frazione algebrica:

 

\frac{12a(x^2- y^2)^2}{6x^2-12x y+6y^2}

 

Per prima cosa fattorizziamo (scomponiamo) il numeratore ricorrendo alla regola del prodotto di somma e differenza di due monomi

 

12a(x^2-y^2)^2= 12 a (x- y)^2 (x+y)^2

 

quindi, scomponiamo il denominatore: ci basta effettuare un raccoglimento totale e poi notare che il trinomio che ne risulta è lo sviluppo del quadrato di un binomio

 

6x^2- 12x y+ 6y^2=6(x^2-2xy+y^2)=6 (x- y)^2

 

A questo punto riscriviamo la frazione algebrica con le fattorizzazioni di numeratore e denominatore:

 

\frac{12 a (x-y)^2 (x+y)^2}{6 (x-y)^2}\ \ \ \mbox{ con }x\ne y

 

Intanto, possiamo notare che la scomposizione del denominatore ci ha permesso di scrivere le condizioni di esistenza in forma esplicita: x\ne y. Vi ricordiamo che le condizioni di esistenza sono dettate dal fatto che, se il denominatore si annulla, l'intera espressione perde di significato.

 

Procediamo con la semplificazione della frazione algebrica. Notiamo a questo punto la presenza di (x- y)^2 sia al numeratore che al denominatore, quindi possiamo semplificare utilizzando le proprietà delle potenze:

 

\frac{12 a(x-y)^2(x+y)^2}{6(x-y)^2}=\frac{12 a (x+y)^2}{6}\ \ \ \mbox{ con }x\ne y

 

Semplifichiamo inoltre il 6 col 12 così da concludere che:

 

\frac{12 a(x-y)^2(x+y)^2}{6(x-y)^2}=2a (x+y)^2\ \ \ \mbox{ con }x\ne y

 

 

Un altro esempio

 

Semplifichiamo la frazione algebrica:

 

\frac{x y z}{x^2 y (z-1)}

 

Innanzitutto, dobbiamo assicurarci che il denominatore sia diverso da zero, quindi

 

x^2 y (z-1)\ne 0

 

e per la legge di annullamento del prodotto scriveremo

 

x\ne 0; y\ne 0; z\ne 1

 

A questo punto possiamo notare che il numeratore e il denominatore hanno fattori in comune che possono essere semplificati:

 

\frac{xyz}{x^2y(z-1)}= \frac{z}{x (z-1)}\ \ \ \mbox{ con }x\ne 0, y\ne 0, z\ne 1

 

Ultimo esempio

 

Riduciamo ai minimi termini

 

\frac{(x+y)^3+ (x+y)^2}{x+y+1}\ \ \ \mbox{ con }x+y+1\ne 0

 

Fattorizziamo il numeratore effettuando un raccoglimento totale

 

(x+y)^3+ (x+y)^2=(x+y)^2[(x+y)+1]=(x+y)^2 (x+y+1)

 

Il denominatore è irriducibile, pertanto la frazione algebrica si riscrive come:

 

\frac{(x+y)^2(x+y+1)}{x+y+1}= (x+y)^2\ \ \ \mbox{ con } x+y+1\ne 0

 

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplificato il fattore comune al numeratore e al denominatore.

 

 


 

Fine! Nella prossima lezione vedremo come risolvere un tipo di esercizi che riassume tutto quel che abbiamo studiato riguardo alle frazioni algebriche. Nel frattempo se volete esercitarvi potete dare un'occhiata alla scheda correlata di esercizi svolti e, nel caso non bastassero, usare la barra di ricerca interna per trovarne molti altri. Infine, se volete correggere i risultati dei vostri esercizi, potete usare il tool per la scomposizione dei polinomi. ;)

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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