Frazioni algebriche

Le frazioni algebriche, dette anche funzioni razionali o frazioni razionali, sono espressioni matematiche definite mediante il rapporto tra due polinomi. In altri termini sono rapporti aventi un polinomio sia a numeratore che a denominatore.

 

In questa pagina spiegheremo nel dettaglio cosa sono le frazioni algebriche, introducendo e commentando tutte le relative definizioni. Fatto ciò passeremo ad occuparci della semplificazione di espressioni con le frazioni algebriche, un classico esercizio di riepilogo che richiede la conoscenza di quasi tutti gli argomenti che si studiano nel contesto dei polinomi. Occhi aperti! ;)

 

Frazioni algebriche in una indeterminata

 

Consideriamo due polinomi nell'indeterminata x, che chiamiamo N(x) e D(x).

 

Detto E l'insieme dei valori della x tali per cui D(x)\ne 0, si definisce frazione algebrica nell'indeterminata x una qualsiasi espressione del tipo 

 

\frac{N(x)}{D(x)}\mbox{ con }x\in E

 

L'insieme E si chiama campo d'esistenza della frazione algebrica. I due polinomi si chiamano termini della funzione razionale, e più precisamente N(x) è il numeratore della frazione algebrica mentre D(x) è il denominatore della frazione algebrica. In pratica continua a valere la nomenclatura che abbiamo imparato per le frazioni.

 

La definizione di frazione algebrica si estende in modo naturale a espressioni in più indeterminate, cioè a frazioni algebriche in cui sostanzialmente compaiono più lettere distinte.

 

Esempi sulle frazioni algebriche

 

1) Come primo esempio consideriamo

 

\frac{x+1}{x}\mbox{ con }x \ne 0

 

che è una frazione algebrica, perché è il rapporto tra i polinomi N(x)= x+ 1,\ \ \ D(x)= x.

 

2) Allo stesso modo

 

\frac{x^2+x+1}{x^2-4}\mbox{ con }x \ne \pm 2

 

è una frazione algebrica.

 

3) In particolare, ogni polinomio costituisce una frazione algebrica perché possiamo intenderlo come rapporto tra il polinomio stesso (numeratore) e 1 (denominatore).

 

Ad esempio il polinomio

 

2x+3x^2

 

è una frazione algebrica perché possiamo vederlo come quoziente tra N(x)= 2x+ 3 x^2\mbox{ e }D(x)= 1.

 

4) Per concludere la trafila di esempi

 

\frac{abc}{a+b+c +1}

 

è una frazione algebrica, solo che in questo caso non abbiamo l'indeterminata x bensì le indeterminate a, b, c.

 

Condizioni di esistenza di una frazione algebrica

 

Dobbiamo tenere a mente che una frazione algebrica perde di significato quando il denominatore si annulla. Quindi, quando scriveremo una qualsiasi frazione algebrica, dovremo sempre riportare le condizioni di esistenza della stessa imponendo che il denominatore sia diverso da zero.

 

Nel caso di frazioni algebriche a più indeterminate in genere c'è poco da fare per le condizioni di esistenza; vanno semplicemente indicate e non permettono un grande lavoro di tipo algebrico. Ma nel caso delle condizioni di esistenza per frazioni algebriche ad una indeterminata, spesso e volentieri si può lavorare per scriverle in una forma più semplice e per ricavare gli specifici valori da escludere.

 

In questo contesto tornano utilissime le tecniche di scomposizione dei polinomi che abbiamo visto nelle lezioni precedenti. ;)

 

Vediamo un paio di esempi.

 

1) La frazione algebrica

 

\frac{x+1}{x^3-25x}

 

richiede che sia

 

x^3-25x\neq 0

 

qui possiamo effettuare un raccoglimento totale su x e successivamente applicare la regola per la differenza di quadrati

 

\to\ x(x^2-25)\neq 0\ \to\ x(x-5)(x+5)\neq 0

 

Ora, la disuguaglianza che abbiamo appena scritto può essere trattata in tutto e per tutto come un'equazione, e la legge di annullamento del prodotto ci permette di ricavare i singoli valori da escludere per le condizioni di esistenza 

 

x\neq 0\ \ \ ;\ \ \ x\neq +5\ \ \ ;\ \ \ x\neq -5

 

 

2) Come secondo esempio, consideriamo la frazione algebrica

 

\frac{2x^2+5}{x^2+5x+6}

 

Ponendo il denominatore diverso da zero e applicando la regola di scomposizione per il trinomio notevole, ricaviamo

 

x^2+5x+6\neq 0\ \to\ (x+3)(x+2)\neq 0\ \to\ x\neq -2\ \ \ ;\ \ \ x\neq -3

 

 

3) Ovviamente può capitare di lavorare con frazioni algebriche che non richiedono alcuna condizione d'esistenza, ossia che sono definite per ogni valore dell'indeterminata:

 

\frac{x+1}{x^2+1}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \ \frac{x+1}{x^2+x+1}

 

Nel primo caso, imponendo x^2+1\neq 0, non dobbiamo escludere alcun valore di x perché x^2+1 è la somma di un numero positivo o nullo e di un numero positivo.

 

Nel secondo caso x^2+x+1\neq 0 non esclude alcun valore di x perché il trinomio in questione è positivo per ogni valore di x.

 

 

4) Prendiamo una frazione algebrica nelle indeterminate x e y

 

\frac{x^2+ x y + y^2}{3 x + y+1}

 

Essa è ben definita se

 

3x + y+ 1\ne 0

 

e questa rappresenta la condizione di esistenza che determina l'insieme di definizione. Come potete vedere, dal punto di vista algebrico non c'è molto da fare e possiamo lasciarla così com'è.

 

Frazioni algebriche equivalenti

 

Per dare la definizione di frazioni algebriche equivalenti dobbiamo tenere conto di due ingredienti:

 

- l'espressione della frazione algebrica;

 

- l'insieme in cui rientrano le indeterminate che compaiono nella frazione algebrica.

 

In generale diciamo che due frazioni algebriche

 

F_1=\frac{A}{B},\ \ \ F_2=\frac{C}{D}

 

sono equivalenti (e basta) se hanno le stesse condizioni di esistenza e se assumono valori numerici uguali, qualunque sia il valore attribuito alle indeterminate, esclusi quelli previsti dalle condizioni di esistenza.

 

Un modo per verificare che due frazioni algebriche siano equivalenti si basa sul seguente teorema: due frazioni algebriche F_1=\frac{A}{B},\ F_2=\frac{C}{D} sono equivalenti se e solo se hanno le stesse condizioni di esistenza e se

 

A\cdot D= B\cdot C

 

Esempio

 

Cerchiamo di stabilire se

 

\frac{x(x+1)}{(x+1)^2}\ \ \ \ \ ;\ \ \ \ \ \frac{x}{x+ 1}

 

sono frazioni algebriche equivalenti.

 

In primo luogo, imponiamo le condizioni di esistenza

 

\\ (x+1)^2\neq 0\ \to\ (x+1)(x+1)\neq 0\ \to\ x\neq-1\\ \\ x+1\neq 0\ \to\ x\neq -1

 

e la prima condizione è verificata. Per la seconda utilizziamo il criterio appena esposto e chiediamoci se 

 

x(x+1)(x+1)=^{? }x(x+1)^2

 

La condizione è soddisfatta, infatti

 

x(x+1)^2=x(x+1)^2

 

Fantastico: abbiamo l'uguaglianza, quindi possiamo concludere immediatamente che le due frazioni algebriche sono equivalenti.

 

 

Osservazione

 

Per l'equivalenza di frazioni algebriche sussiste il seguente teorema, che si basa essenzialmente sulla proprietà invariantiva della divisione.

 

Teorema: una frazione algebrica è equivalente a quella che si ottiene moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, che non si annulli nell'insieme in cui essa è definita.

 

Grazie a questo teorema è facile immaginare che a partire da una frazione algebrica si possano individuare infinite frazioni algebriche equivalenti a quella data.

 

Frazioni algebriche equivalenti su un insieme

 

Oltre alla precedente definizione, possiamo darne un'altra che non si riferisce solamente all'espressione delle frazioni algebriche, ma anche all'insieme cui appartengono le indeterminate.

 

Diciamo che due frazioni algebriche

 

F_1=\frac{A}{B},\ \ \ F_2=\frac{C}{D}

 

sono equivalenti su un insieme I se assumono valori numerici uguali, qualunque sia il valore attribuito alle indeterminate nell'insieme I.

 

Avete notato la differenza rispetto alla definizione di frazioni algebriche equivalenti? Mettiamola in luce con un esempio. :)

 

Esempio

 

La frazione algebrica

 

F_1(x)=\frac{x}{x-1}

 

è definita per x\neq 1, cioè nell'insieme I=\mathbb{R}-\{1\}, ed è equivalente a

 

F_2(x)=\frac{x^2-x}{(x-1)^2}

 

che è a sua volta definita per x\neq 1.

 

D'altra parte F_1 non è equivalente a

 

F_3(x)=\frac{x^2}{x(x-1)^2}

 

perché quest'ultima è definita per x\neq 0,\ x\neq 1, cioè sull'insieme \mathbb{R}-\{0,1\}, e quindi le sue condizioni di esistenza non coincidono con quelle di F_1(x).

 

Di contro però F_1,\ F_2,\ F_3 sono frazioni algebriche equivalenti sull'insieme \mathbb{R}-\{0,1\}.

 

 


 

Per ora ci fermiamo qui! Nella prossima lezione parleremo di frazioni algebriche irriducibili, e come ridurre una frazione algebrica! Nel frattempo se siete impazienti potete usare il tool per la scomposizione di polinomi, grazie al quale potrete anche semplificare le frazioni algebriche online; se invece volete cominciare già ad esercitarvi, potete mettervi alla prova con la scheda di esercizi correlati; e se non bastassero, ricordatevi sempre che qui su YM ci sono tantissimi esercizi svolti e che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca. 

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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