Teorema del resto

Il teorema del resto è un teorema che permette di calcolare velocemente il resto della divisione di un polinomio per un binomio, senza dover calcolare la divisione stessa ed effettuando una semplice valutazione.

 

Il protagonista di questo articolo è il celeberrimo teorema del resto, un importante risultato della teoria dei polinomi. Esso ci permette di determinare il resto di una divisione tra un polinomio ed un binomio di primo grado senza ricorrere al metodo di divisione tra polinomi, ed ha numerose applicazioni pratiche e teoriche.

 

Teorema del resto (divisibilità per un polinomio di primo grado)

 

Partiamo dall'enunciato del teorema del resto.

 

Il resto della divisione di un polinomio A(x) per un binomio (x-c) è dato dal valore della valutazione di A(x) in x=c, che è il termine noto del binomio cambiato di segno.

 

In formule questo si traduce in 

 

\mbox{R}= A(c)

 

dove con R indichiamo il resto della divisione polinomiale e con A(c) la valutazione del polinomio A(x) in x=c.

 

 

Dimostrazione

 

Per dimostrare il precedente risultato, effettuiamo la divisione tra A(x) e (x-c). Si ricava:

 

A(x)= (x- c)Q(x)+ R(x)\ \ \ \mbox{con grado}(R(x))\ \textless\ \mbox{grado}(x-c)

 

dove Q(x) è il polinomio quoziente e R(x) è il polinomio resto. Osserviamo che la relazione \mbox{grado}(R(x))\textless 1 ci consente di dire che R(x) ha grado 0 oppure è identicamente nullo. In ogni caso è un polinomio che si riduce ad una costante e quindi possiamo indicarlo con R

 

A(x)= (x- c)Q(x)+ R

 

Se al posto di x inseriamo c, otteniamo

 

A(c)=(c-c) Q(c)+ R

 

cioè

 

A(c)= R

 

cioè il resto coincide con il valore che il polinomio assume quando ad x sostituiamo c, e ciò dimostra il teorema.

 

Vantaggi del teorema del resto

 

Per rispondere a questa domanda, facciamo un esempio esplicito. Vogliamo determinare il resto della divisione tra i polinomi

 

\\ A(x)=x^3+ x^2+ x+ 1\\ \\ x+2

 

Procediamo con la classica divisione tra polinomi

 

 

\begin{array}{cccc|c}x^3&+x^2& +x&+1 & x+2\\ \cline{5-5}-x^3 & -2x^2& &&x^2-x+3\\ \cline{1-4} //& -x^2&+x&+1\\&+x^2&+2x\\ \cline{1-4}&//&3x&+1\\ &&-3x&-6\\ \cline{1-4}\\ &&//&-5\end{array}

 

 

Il resto della divisione è appunto R=-5.

 

Utilizzando il teorema del resto arriviamo alla stessa conclusione, ma molto più velocemente

 

R= A(-2)= (-2)^3+ (-2)^2+ (-2)+1= -8+4-2+1=-5

 

Va da sé che il vantaggio è nella mole di conti. ;)

 

 

Esempi sul teorema del resto

 

Non è ancora chiaro come procedere per determinare il resto? Non perdiamoci d'animo e vediamo un po' di esempi.

 

 

Esempio 1

 

Vogliamo determinare il resto della divisione tra i polinomi

 

\\ A(x)= \frac{1}{2}x^3+ \frac{1}{3}x+1\\ \\ x+ \frac{1}{2}

 

La prima cosa da fare è capire cos'è c. Secondo la regola, esso è il termine noto del divisore cambiato di segno, dunque

 

c= -\frac{1}{2}

 

Non ci resta che valutare il polinomio A(x) sostituendo ad x il valore c.

 

R= A\left(-\frac{1}{2}\right)= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)^3+ \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+1= \frac{37}{48}

 

Il resto è quindi R= \frac{37}{48}.

 

 

Esempio più delicato

 

Il resto della divisione polinomiale tra i polinomi

 

\\ x^2+ x+ 1\\ \\ 2x+1

 

è R= \frac{3}{4}. Vediamo come applicare il teorema del resto per arrivare a tale conclusione.

 

Per prima cosa osserviamo che il polinomio divisore 2x+1 non è esattamente nella forma richiesta x-c, questo perché il monomio di primo grado ha un coefficiente diverso da 1.

 

Per far fronte a questo piccolo inconveniente raccogliamo un 2, così da ottenere

 

2\left(x+ \frac{1}{2}\right)

 

Questo procedimento consente di asserire che il valore c richiesto dal teorema è c= - \frac{1}{2}, ed il teorema del resto ci permette di concludere che

 

R= A\left(-\frac{1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+ \left(-\frac{1}{2}\right)+1= \frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1= \frac{3}{4}

 

Teorema del resto e teorema di Ruffini

 

Una conseguenza fondamentale del teorema del resto è il teorema di Ruffini, di cui abbiamo parlato nella lezione sulla regola di Ruffini.

 

Il teorema di Ruffini stabilisce che un polinomio A(x) è divisibile per (x-c) se e solo se il polinomio A(x) si annulla in x=c, ovvero quando R=A(c)=0.

 

La dimostrazione è immediata e la lasciamo al lettore, basta ricordare che la divisibilità esatta equivale a resto nullo. ;)

 

 

Esempio

 

Vogliamo mostrare che il polinomio x-1 divide esattamente x^3-x^2+ x-1.

 

Per procedere è sufficiente verificare che il resto della divisione polinomiale è nullo, e per il teorema del resto ciò equivale a mostrare che A(1)=0. Dobbiamo solo fare qualche conticino:

 

R= A(1)= 1^3-1^2+1-1= 0

 

Ottimo: il resto è zero, quindi il polinomio x-1 divide esattamente x^3-x^2+x-1.

 

 


 

Nella scheda correlata potete consultare una manciata di esercizi svolti sul teorema del resto, giusto per consolidare il significato del teorema. In caso di dubbi o domande non dimenticate che YM è pieno zeppo di esercizi risolti e di risposte dello Staff, dunque potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. Non solo: c'è anche un utilissimo tool sulla divisione tra polinomi online con cui potete verificare i risultati dei vostri esercizi. ;)

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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