mcm di polinomi

In questa lezione parleremo del minimo comune multiplo tra polinomi (o più brevemente, mcm tra polinomi): oltre a darne la definizione, mostreremo il metodo per calcolare il mcm tra due o più polinomi assegnati in generale e proponendo diversi esempi commentati.

 

Come avremo modo di scoprire tra un istante, il concetto di mcm tra polinomi è del tutto simile a quello del mcm di numeri interi, che tutti dovremmo ormai conoscere. Lo è anche il metodo di calcolo, per cui niente paura. ;)

 

Minimo comune multiplo tra polinomi

 

Il minimo comune multiplo di due o più polinomi è un qualsiasi polinomio che è divisibile per tutti i polinomi dati e tale da avere il minimo grado possibile.

 

Ricordiamo che con l'espressione "divisibile" intendiamo che il resto della divisione tra il minimo comune multiplo ed uno dei polinomi assegnati deve essere zero.

 

 

Esattamente come nel caso del massimo comun divisore tra polinomi, dati due o più polinomi esistono infiniti polinomi di grado minimo che siano divisibili per ciascuno dei polinomi dati, e che differiscono tra loro per una costante moltiplicativa non nulla.

 

Ad esempio, come minimo comune multiplo dei polinomi

 

P(x)=x-1\ \ \ ;\ \ \ Q(x)=x+2

 

possiamo considerare

 

\mbox{mcm}(P;Q)=x^2+x-2

 

Ma potremmo anche considerare 5(x^2+x-2), infatti tale polinomio è divisibile sia per P(x) che per Q(x) ed ha il minimo grado possibile (provate ad effettuare la divisione tra polinomi e scoprirete che in entrambi i casi il resto è zero).

 

Di conseguenza, il mcm tra polinomi non è unico, ma non importa: ci basti sapere che quello che determineremo negli esercizi è il minimo comune multiplo a meno di una costante moltiplicativa diversa da zero.

 

Come si calcola il minimo comune multiplo di polinomi

 

Il procedimento per calcolare il mcm tra polinomi non è per nulla complicato. Essenzialmente dobbiamo seguire due passaggi:

 

 

1) si scompongono i polinomi dati e si scrivono come prodotti di fattori irriducibili, in parole povere come prodotti di fattori che non possono essere ulteriormente scomposti. Questo è in genere il passaggio più impegnativo.

 

 

2) Si moltiplicano i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con il massimo esponente.

 

In Questo modo otterremo proprio il minimo comune multiplo dei polinomi assegnati (a meno di costanti moltiplicative).

 

Esempi sul mcm tra polinomi

 

Il metodo che abbiamo appena descritto è espresso in linea generale, ora vediamo una manciata di esempi sul minimo comune multiplo tra polinomi.

 

 

A) Vogliamo calcolare il minimo comune multiplo dei polinomi

 

\\ P= x+3\\ \\ Q= 6x+18\\ \\ S= x^2+6x+9

 

Il primo passaggio consiste nello scomporre i tre polinomi in fattori irriducibili

 

P(x)= x+3

 

è già irriducibile.

 

Q(x)= 6x+18=

 

raccogliamo totalmente 6, per cui ricaviamo

 

= 6 (x+3)

 

Infine, scomponiamo

 

S(x)= x^2+ 6x +9=

 

che è un quadrato di binomio, quindi

 

= (x+3)^2

 

Riscriviamo le fattorizzazioni che abbiamo appena determinato:

 

\\ P= x+3\\ \\ Q= 6(x+3)\\ \\ S=(x+3)^2

 

Notiamo che c'è solo un fattore in tutti e tre i polinomi. Noi dobbiamo prendere tutti i fattori comuni e quelli non comuni. Non ci sono fattori non comuni, c'è solo un unico fattore comune che è (x+3)^2, e ne prendiamo il quadrato perché dobbiamo prendere il fattore comune con il massimo esponente.

 

Il minimo comune multiplo dei polinomi dati è quindi

 

\mbox{mcm}(P;Q;S)= 6(x+3)^2

 

 

Sottolineamo una cosa che spesso viene tralasciata dagli insegnanti: il minimo comune multiplo che abbiamo trovato è 6(x+3)^2 ma nessuno ci impedisce di prendere (x+3)^2 o addirittura 10 (x+3)^2.

 

Per facilitare i conti, comunque, ove possibile si prende come coefficiente numerico il minimo comune multiplo dei coefficienti che appaiono nella fattorizzazione (se essi sono interi). Se non sono interi possiamo tranquillamente prendere 1 come coefficiente del mcm.

 

 

B) Vogliamo calcolare il minimo comune multiplo dei polinomi

 

\\ P(x)= 2x^2-2y^2\\ \\ Q(x)=3xy-3y^2,\\ \\ S(x)=x^2 y-2 x y^2+ y^3

 

Fattorizziamo i polinomi assegnati:

 

P(x)= 2x^2- 2 y^2=

 

raccoglimento totale

 

= 2(x^2-y^2)

 

quindi scomponiamo la differenza di quadrati

 

= 2 (x+y)(x-y)

 

Passiamo al secondo polinomio

 

Q(x)=3xy-3y^2=

 

raccogliamo 3y

 

=3y(x-y)

 

Infine, per quanto riguarda

 

S(x)= x^2 y- 2 x y^2 + y^3=

 

raccogliamo y

 

= y (x^2- 2 x y + y^2)=

 

e applichiamo la regola per il quadrato di un binomio, ovviamente in fase di scomposizione

 

=y (x- y)^2

 

Come nell'esempio precedente riscriviamo le scomposizioni che abbiamo ricavato

 

\\ P(x)= 2(x+y)(x-y)\\ \\ Q(x)=3y(x-y)\\ \\ S(x)=y(x-y)^2

 

Il minimo comune multiplo dei polinomi assegnati è il prodotto tra i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente. Quindi

 

\mbox{mcm}(P;Q;S)=6y (x+y)(x-y)^2

 

Perché imparare a calcolare il mcm di polinomi

 

Il minimo comune multiplo tra polinomi è fondamentale in una miriade di tipologie di esercizi, a partire da quelli sulle frazioni algebriche, argomento di cui ci occuperemo nella prossima lezione. ;)

 

 


 

Abbiamo finito: a questo punto vi consigliamo di fare un po' di allenamento a partire dalla scheda correlata di esercizi svolti. Nel caso non bastassero avete sempre a disposizione la barra di ricerca interna, grazie alla quale potrete reperire una marea di esercizi e di problemi risolti. E se volete verificare i risultati dei vostri compiti per casa, servitevi pure del tool per il mcm di polinomi online. ;)

 

 

In bocca al lupo!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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