MCD tra polinomi

Il massimo comun divisore tra polinomi (o MCD tra polinomi) ha la fama di essere un argomento complicato, ma in realtà è affatto difficile. Questa lezione si prefigge il compito di spiegare in modo più semplice possibile che cos'è, come si calcola e a cosa serve il massimo comun divisore tra polinomi. Vediamo prima di tutto la parte teorica, per poi passare al metodo pratico.

 

Come vedremo tra poco, il procedimento da seguire è in tutto e per tutto simile rispetto a quello che ben conosciamo per calcolare il MCD tra numeri interi.

 

Massimo comun divisore tra polinomi (MCD tra polinomi)

 

Chiamiamo massimo comun divisore tra due o più polinomi un qualsiasi polinomio che divide esattamente tutti i polinomi assegnati e tale da avere il massimo grado possibile.

 

Ricordiamo che con l'espressione "divide esattamente" si intende che il resto della divisione tra un dato polinomio e il massimo comun divisore è zero.

 

 

In realtà esistono infiniti polinomi di grado massimo che dividono i polinomi assegnati, e che differiscono tra loro per una costante moltiplicativa diversa da zero.

 

Per fare un esempio, il massimo comun divisore tra i polinomi

 

P(x)=x^2-1\ \ \ ;\ \ \ Q(x)=x-1

 

è dato da

 

\mbox{MCD}(P;Q)= x-1.

 

Nessuno ci impedisce di prendere come MCD il polinomio 2(x-1), infatti esso divide sia P(x) che Q(x) ed ha il massimo grado possibile (in caso di dubbi, provate a calcolare la divisione tra polinomi e vedrete che in entrambi i casi il resto è zero).

 

Poco male: noi determineremo il massimo comun divisore tra polinomi a meno di una costante moltiplicativa diversa da zero. ;)

 

Come si calcola il massimo comun divisore tra polinomi?

 

Per calcolare il MCD tra polinomi dobbiamo seguire una semplice scaletta. Prima la proponiamo in linea teorica, poi vedremo come applicarla con opportuni esempi.

 

 

1) Si scompongono i polinomi assegnati in polinomi irriducibili

 

Dove con polinomi irriducibili intendiamo sostanzialmente polinomi che non possono essere ulteriormente scomposti. Questo è sicuramente il passo più delicato perché richiede quello che in gergo matematico viene chiamato "colpo d'occhio", che si affina solo con l'allenamento: saper scomporre un polinomio diventa indispensabile.

 

 

2) Si moltiplicano tra loro tutti e i soli fattori comuni ai polinomi dati, presi una sola volta con il minimo esponente

 

Il risultato sarà proprio il massimo comun divisore (a meno di costanti moltiplicative).

 

 

Esempi sul MCD di polinomi

 

Come promesso, vediamo alcuni esempi sul massimo comun divisore tra polinomi.

 

 

A) Vogliamo determinare il massimo comun divisore tra i polinomi

 

\\ P(x)= x^3 -x^2 y - x y^2+ y^3\\ \\ Q(x)= x^3-3 x^2 y + 3 x y ^2 - y^3\\ \\ S(x)=x^2- y^2 .

 

Scomponiamo in polinomi irriducibili i polinomi che ci vengono forniti dalla traccia:

 

P(x)= x^3- x^2 y- x y^2+ y^3=

 

raccogliamo parzialmente x^2\mbox{ e }y^2

 

= x^2(x- y)-y^2 (x- y)=

 

raccoglimento totale, fattore x-y

 

= (x- y)(x^2- y^2)=

 

fattorizziamo la differenza di quadrati

 

= (x- y)(x- y)(x+ y)= (x- y)^2 (x+y)

 

P(x) è andato, concentriamoci sul polinomio Q(x):

 

Q(x)= x^3- 3 x^2 y + 3 x y ^2 - y^3=

 

Q non è altro che un cubo di binomio

 

= (x- y)^3

 

Infine, passiamo alla scomposizione del polinomio S(x)

 

S(x)=x^2-y^2=

 

è una differenza di quadrati

 

= (x- y)(x+ y)

 

Abbiamo ridotto in fattori irriducibili i tre polinomi:

 

\\ P(x)=(x- y)^2 (x+y)\\ \\ Q(x)=(x-y)^3\\ \\ S(x)=(x-y)(x+y) 

 

L'unico fattore comune, cioè quello che troviamo in tutte le fattorizzazioni, preso con il minimo esponente è x- y. Possiamo quindi concludere che, a meno di coefficienti moltiplicativi non nulli, il massimo comun divisore dei polinomi assegnati è

 

\mbox{MCD}(P; Q; S)= x- y

 

 

B) Facciamo un altro esempio: vogliamo determinare il massimo comun divisore dei polinomi

 

\\ P(x)= 6x^2 +6 x^3\\ \\ Q(x)=24 x^3 + 12x^4\\ \\ S(x)= 6x^5+ 6x^4 y

 

Come prima cosa, fattorizziamo i polinomi in gioco:

 

P(x)= 6x^2+ 6x^3=

 

raccogliamo 6x^2

 

= 6x^2 (1+ x)

 

Fattorizziamo Q(x)

 

Q(x)= 24 x ^3+ 12x^4=

 

raccogliamo 12x^3

 

= 12x^3(2+ x)= 12 x^3(2+x)


Infine fattorizziamo S(x)

 

S(x)= 6 x^5+ 6x^4 y

 

raccogliamo 6x^4

 

= 6x^4 (x+ y)

 

Riscriviamo le fattorizzazioni che abbiamo ricavato:

 

\\ P(x)=6x^2 (1+ x)\\ \\ Q(x)=12x^3(2+x)\\ \\ S(x)=6x^4 (x+ y)

 

L'unico fattore comune a tutte le scomposizioni è 6x^2, quindi

 

\mbox{MCD}(P;Q;S)=6x^2

 

Porgiamo attenzione all'esponente: abbiamo scelto 2 perché è il minimo tra quelli determinati. Inoltre, abbiamo riportato il coefficiente 6, ma avremmo potuto anche considerare x^2,\ 2x^2,\ ...

 

Perché bisogna imparare a calcolare il MCD tra polinomi? 

 

Uno dei motivi per cui è utile imparare a determinare il massimo comun divisore tra due o più polinomi è che esso serve a ridurre ai minimi termini le cosiddette frazioni algebriche. Tendenzialmente questo argomento viene affrontato solo nel seguito, e proprio per questo motivo gli studenti sono portati a pensare che il massimo comun divisore tra polinomi non sia molto importante. Deduzione errata! ;)

 

 


 

È tutto. Nella lezione successiva vedremo come si calcola il mcm tra polinomi. Nel frattempo potete esercitarvi con gli esercizi svolti della scheda correlata, e se non bastassero potete anche usare la barra di ricerca interna, perché YM è stracolmo di esercizi risolti e spiegati. AH! C'è anche un apposito tool per calcolare il MCD tra polinomi online, non perdetevelo! ;)

 

 

Buono studio!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati..........Lezione successiva


Tags: MCD tra polinomi - come calcolare il massimo comun divisore tra due o più polinomi.