Numeri relativi

I numeri relativi, detti anche numeri interi relativi o numeri interi ed indicati con il simbolo ℤ, sono per definizione tutti i numeri interi e sono caratterizzati da un segno positivo, nullo o negativo (+, 0, -).

 

In questa lezione parleremo dei numeri relativi e parleremo dei numeri con segno, cioè i numeri che possono avere segno positivo, negativo o nullo. Attenzione: alla fine della lezione, dopo la spiegazione, vi metteremo in guardia sull'uso dei nomi!

 

Nota: per chi fosse interessato, qui su YM c'è anche una guida didattica per la scuola elementare- Potete leggerla qui: numeri interi.

 

Cosa sono i numeri relativi?

 

Per introdurre i numeri relativi ci serve una piccola premessa. Alla scuola primaria ci insegnano che una sottrazione in cui il minuendo (numero che precede il segno meno) è minore del sottraendo "non si può fare", come ad esempio 12-15 oppure 67-121.

 

Ora che siamo più grandicelli ci chiediamo: è davvero così?

 

Vi sarà capitato di sentire al meteo: "Oggi il termometro a Roma segna 8 gradi centigradi. Per domani è prevista una diminuzione di 10 gradi".

 

Vi chiediamo: quale sarà la temperatura domani a Roma? Per rispondere a questa domanda dobbiamo svolgere la sottrazione

 

8-10=?

 

Risulta subito evidente che il risultato non sarà un numero naturale, ossia sarà un numero non positivo. La temperatura infatti sarà infatti pari a 2 gradi sotto zero, che in matematica indicheremo con -2.

 

Per farla breve le sottrazioni con minuendo minore del sottraendo hanno spinto ad introdurre un nuovo tipo di numeri, quelli che diremo numeri relativi.

 

Definizione di numero relativo: si dice numero relativo un numero preceduto da un segno che può essere più (+) o meno (-), oppure zero.

 

Vi faccio notare che nella precedente definizione ho parlato di numero in generale, senza specificare di che tipo. Il motivo è che qualsiasi "tipo di numero" (naturale, decimale, razionale o irrazionale) può essere preceduto da un segno!

 

Numeri interi relativi

 

Riguardiamo sotto questa nuova ottica i numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Possiamo pensare ad essi come agli stessi numeri preceduti dal segno + e quindi scrivere:

 

(0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...)

 

da cui dovrebbe venire spontaneo considerare anche gli stessi numeri preceduti dal segno meno:

 

(-1, -2, -3, -4, -5, -6, ...) 

 

Ora

 

... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...

 

sono quelli che si dicono numeri interi relativi, cioè non sono altro che numeri naturali (interi) preceduti da un segno. Tali numeri hanno un ruolo importantissimo nell'ambito della Matematica, tanto che si è convenuto di dargli un nome: l'insieme dei numeri interi relativi si indica con la lettera \mathbb{Z}.

 

Inoltre, per come è stato definito, l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme proprio dell'insieme dei numeri relativi, ovvero:

 

 

numeri-interi-relativi

 

Numeri relativi razionali

 

Così come appena fatto per i numeri naturali, possiamo considerare anche i numeri razionali (frazioni) e anteporre ad esse un segno: ad esempio +\frac{1}{2}, \ -\frac{5}{3}, \ +\frac{12}{5}...

 

In questo caso parleremo di numeri razionali relativi, che altro non sono se non i numeri razionali (frazioni) precedute da un segno.

 

Valore assoluto di un numero relativo

 

Abbiamo appena visto che un numero relativo è formato da un numero preceduto da un segno (più o meno). Spesso è necessario considerare il numero relativo "senza il segno". Parleremo in questo caso di valore assoluto***

 

Cerchiamo di essere più chiari. Consideriamo il numero -7. Si dice valore assoluto di -7 e si indica con |-7| il numero privato del segno, cioé:

 

|-7|=7

 

Così, ad esempio:

 

\\ |+12|=12\\ \\ \left|-\frac{7}{2}\right|=\frac{7}{2}

 

*** Ci teniamo a ricordare che questa lezione è pensata per ragazzi di scuola media, ecco perché si è preferito definire il valore assoluto in questo modo. Per i liceali e per gli universitari raccomandiamo la lettura della lezione sul valore assoluto.

 

Numeri relativi concordi, discordi, opposti, uguali

 

Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno, come ad esempio

 

\\ +5 \ e \ +12\\ \\ -\frac{1}{2} \ e \ -6

 

Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso, come nel caso di

 

\\ -3 \ e \ +\frac{5}{2}\\ \\ -43 \ e \ +2

 

Due numeri relativi si dicono opposti se hanno stesso valore assoluto e sono discordi, ad esempio

 

\\ +5 \ e \ -5\\ \\ \frac{1}{12} \ e \ -\frac{1}{12}

 

Due numeri relativi si dicono uguali se hanno stesso segno e stesso valore assoluto:

 

\\ +11 \ e \ +11\\ \\ -\frac{7}{13} \ e \ -\frac{7}{13}

 

Rappresentazione grafica dei numeri interi relativi

 

Molto spesso negli esercizi è utile fare riferimento alla rappresentazione grafica dei numeri relativi sulla retta orientata. Disegnamo una retta orientata e circa a metà segnamo con un trattino il punto zero. Fissiamo poi un'unitò di misura u e riportiamola sia a destra sia a sinistra dello zero.

 

Procedendo verso destra riportiamo i numeri interi positivi (+1, +2, +3, +4, ...).

 

Procedendo verso sinistra riportiamo i numeri interi negativi (-1, -2, -3, -4, ...).

 

Numeri relativi

 

 

Confronto tra numeri relativi

 

Ed eccoci ad un tipo di esercizio che all'inizio può creare confusione e che poi, con l'allenamento e l'abitudine, diventa semplicissimo. Vediamo come confrontare due numeri relativi.

 

Dati due numeri relativi che non siano uguali, ci proponiamo di capire quali fra i due è il più grande (o il più piccolo). Se seguirete con attenzione questi semplici passi sarà una passeggiata!

 

- Se i due numeri relativi sono discordi (hanno segno diverso) è più grande quello preceduto dal segno più.

 

- Lo zero è più grande di tutti i numeri negativi e più piccolo di tutti i numeri positivi.

 

- Se i due numeri sono concordi (hanno lo stesso segno) si distinguono due casi:

 

1) se sono positivi sarà maggiore quello avente valore assoluto maggiore

 

2) se sono entranbi negativi sarà maggiore quello avente valore assoluto minore.

 

Attenzione al nome numeri relativi!

 

Come promesso all'inizio, ci teniamo a mettervi in guardia sull'uso del nome numeri relativi!

 

Alle scuole Medie "numeri relativi" è un nome che specifica e amplia i vari insiemi di numeri che abbiamo già visto: naturali, razionali e decimali. Da qui si parla di numeri interi relativi, numeri decimali relativi e numeri razionali relativi.

 

Più avanti - dalle scuole superiori in poi - si usa il nome "numeri relativi" per indicare solamente i numeri interi relativi, quelli che, per intenderci, abbiamo indicato con la lettera \mathbb{Z}.

 

In particolare quando si dice "numeri decimali" e "numeri razionali" si intendono già i numeri decimali e i numeri razionali con segno qualsiasi.

 

Per gli studenti delle scuole medie continua a valere tutto quello che abbiamo detto in questa lezione; per tutti gli altri, siamo sicuri che non ci saranno problemi nell'adeguarsi di conseguenza. ;)

 

 


 

Per questa lezione è tutto. In caso di dubbi, vi consigliamo di effettuare una ricerca qui su YouMath ci sono tantissimi esercizi risolti e spiegati nel dettaglio! E per chi avesse già dimestichezza con la regola dei segni, c'è anche una scheda di esercizi sulle espressioni con i numeri relativi con cui mettersi alla prova. ;)

 

Buona matematica a tutti,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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