Numeri razionali

I numeri razionali, indicati con il simbolo ℚ, sono tutti e soli i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore dati da numeri interi. I numeri razionali includono inoltre i numeri interi come sottoinsieme, e sono infiniti.

 

Qui di seguito spieghiamo cosa sono i numeri razionali, analizzandone la definizione, le principali proprietà e facendo innanzitutto vedere che, anche se potrebbe sembrarvi un argomento nuovo, in realtà utilizziamo i numeri razionali senza saperlo ogni giorno.

 

"Oggi tre quarti della classe era assente"

 

"Metà squadra è infortunata"

 

"Un quarto degli italiani soffre di allergia"

 

Quelle che abbiamo appena scritto sono frasi che quasi quotidianamente leggiamo o sentiamo. Bene! Tre quarti \left(\frac{3}{4}\right), metà \left(\frac{1}{2}\right) e un quarto \left(\frac{1}{4}\right) sono tutti esempi di quelli che in Matematica vengono detti numeri razionali.

 

L'insieme dei numeri razionali

 

Detto in altre parole, l'insieme dei numeri razionali (che in matematica si indica col simbolo \mathbb{Q}) è l'insieme di tutti quei numeri che si esprimono sotto forma di frazione. Ora ci chiediamo:

 

Cos'è una frazione?

 

Una frazione altro non è che un modo diverso per esprimere una divisione tra due numeri interi con segno positivo o negativo. Ad esempio scrivere \frac{12}{5} equivale a scrivere 12:5, così come \frac{1}{2} equivale a 1:2 e così via per qualunque frazione (o divisione) vi venga in mente.

 

Data una qualsiasi frazione:

 

- il numero che sta "sopra la linea" si dice numeratore;

 

- il numero che sta sotto si chiama denominatore.

 

In \frac{7}{12}, 7 è il numeratore e 12 è il denominatore.

 

Confronto tra numeri razionali

 

Supponiamo di avere due numeri razionali e di volerli confrontare, cioè di voler stabilire se sono uguali e, se non lo fossero, quale fra i due è il maggiore e quale il minore. Come dobbiamo procedere? 

 

1) Si riducono le frazioni ai minimi termini.

 

Ora si osservano:

 

2a) se hanno stesso numeratore e stesso denominatore, allora i due numeri razionali sono uguali;

 

2b) se hanno stesso denominatore, ma numeratore diverso, è maggiore quella avente numeratore più grande.

 

Ad esempio:

 

\\ \frac{7}{5} \textgreater \frac{2}{5}\\ \\ \\ \frac{8}{3} \textless \frac{13}{3}

 

2c) Se hanno stesso numeratore, ma denominatore diverso, è maggiore quella avente denominatore più piccolo!

 

Attenzione qui! Potrebbe sembrare un controsenso, ma non è così! Ad esempio:

 

\\ \frac{2}{3} \textgreater \frac{2}{5}\\ \\ \\ \frac{8}{15} \textless \frac{8}{13}

 

2d) Se hanno numeratore e denominatore diversi, allora dobbiamo ricondurre le due frazioni allo stesso denominatore (facendo il minimo comune multiplo fra i denominatori) e si confrontano come al punto 2b).

 

A titolo di esempio confrontiamo le frazioni \frac{15}{2}\mbox{ e }\frac{7}{3}.

 

Calcoliamo il minimo comune multiplo dei denominatori in modo da ridurle allo stesso denominatore

 

mcm(2,3)=6

 

Quindi:

 

\\ \frac{15}{2} = \frac{45}{6}\\ \\ \\ \frac{7}{3} = \frac{14}{6}

 

Essendo 45 maggiore di 14, si ha che \frac{15}{2} \textgreater \frac{7}{3}

 

Numeri razionali e numeri naturali

 

Curiosità: \frac{14}{2} è un numero razionale?

 

All'apparenza sembrerebbe di sì, in quanto è una frazione. Se però la riduciamo ai minimi termini (dividendo numeratore e denominatore per 2) otteniamo \frac{14}{2}=7 che è un numero naturale! Quindi? Qual è la risposta giusta alla domanda?

 

Per rispondere correttamente, basta sapere che l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N} è un sottoinsieme dei numeri razionali \mathbb{Q}. Per fissare meglio le idee basta ricordare il seguente diagramma di Eulero-Venn:

 

 

Numeri razionali

 

 

che ci fa vedere e capire come tutti i numeri naturali sono particolari tipi di numeri razionali!

 

Se ancora non fosse chiaro, per convincersi di ciò, basta pensare ad un qualsiasi numero naturale. Considera ad esempio 5 e prova a ridurre ai minimi termini:

 

\\ \frac{10}{2}=5\\ \\ \frac{15}{3}=5\\ \\ \frac{25}{5}=5

 

Come risultato otterrete sempre 5.

 

Per approfondire, puoi leggere l'articolo sui tipi di frazioni in cui si parla delle frazioni apparenti.

 

 


 

È tutto! In una delle lezioni successive parleremo di un altro particolare insieme numerico, quello dei numeri irrazionali. Prima di salutarti ti consigliamo di consultare le tonnellate di esercizi disponibili su YouMath, usando la barra di ricerca presente in cima ad ogni pagina; e in caso di dubbi o perplessità, non disperare e posta la tua domanda nel Forum. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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