Numeri naturali

I numeri naturali, indicati con il simbolo ℕ, sono tutti e soli i numeri {0, 1, 2, 3, ...} e vengono ottenuti aggiungendo di volta in volta un'unità partendo da zero. I numeri naturali vengono anche detti numeri interi non negativi e sono infiniti.

 

A seconda dei contesti si può decidere di escludere lo zero, dandone così una definizione alternativa.

 

In questa lezione, pensata per i ragazzi della scuola media, vedremo cosa sono i numeri naturali, come sono definiti e quali sono tutte le loro principali proprietà e caratteristiche.

 

Quali sono i numeri naturali?

 

I numeri naturali sono quei numeri che impariamo da bambini, prima ancora di andare a scuola e che usiamo tutti i giorni per contare! Ebbene sì, essi sono proprio

 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

 

Una delle principali caratteristiche che bisogna ricordare è che i numeri naturali sono infiniti; la lista che abbiamo appena scritto inizia con lo zero e non ha mai fine! Per convincervi di ciò possiamo provare a pensare ad un numero grandissimo. Aggiungendo 1 a questo numero ne troveremo subito uno più grande, e così via, senza fine.

 

L'insieme dei numeri naturali è dunque formato da infiniti elementi e in Matematica si indica con la lettera \mathbb{N}. Vi facciamo notare che è una N leggermente diversa dal solito, infatti la barra in diagonale è doppia. Non è un caso: la si scrive in questo modo proprio per indicare che stiamo parlando dell'insieme dei numeri naturali.

 

Precedente e successivo di un numero naturale

 

Osserviamo nuovamente la lista dei primi numeri naturali scritti sopra:

 

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

 

Ci si rende subito conto che ogni numero naturale ha un numero che lo precede, che chiameremo precedente, ed un numero che lo segue, che si dirà conseguente (o successivo).  In particolare, dato un numero naturale ed il suo successivo, diremo che tali numeri sono numeri consecutivi.

 

Prendiamo ad esempio il numero 5. Esso sta tra il 4 ed il 6, quindi:

 

- il numero 4 si dirà il precedente del numero 5;

- il numero 6 si dirà il conseguente del numero 5.

 

L'unico numero naturale che non rispetta questa regola è lo zero. Si vede immediatamente infatti che lo zero, essendo il primo numero naturale, non ha un precedente, cioè non esiste alcun numero naturale che viene prima dello zero.

 

Confronto tra numeri naturali

 

Prima di vedere come confrontare due numeri naturali, introduciamo innanzitutto tre simboli matematici che incontrerete sempre nel corso della vostra carriera scolastica:

 

= UGUALE

> MAGGIORE

< MINORE

 

Se doveste avere difficoltà a riconoscere o a distinguere il simbolo del maggiore da quello del minore, nessun problema. A fine lezione vi sveleremo un semplicissimo trucchetto per riconoscerli senza sbagliare.

 

Come facciamo a stabilire se un numero naturale è maggiore, minore o uguale di un altro?

 

Ecco delle semplicissime regole da seguire:

 

1) se i due numeri hanno un numero diverso di cifre, sarà più grande quello con un maggior numero di cifre.

 

Ad esempio 7824>123 in quanto 7824 ha quattro cifre, mentre 123 ne ha solo tre.

 

Osservate che scrivere 7824>123 (ossia 7824 maggiore di 123) equivale a scrivere 123<7824 (cioè 123 minore di 7824).


2) Se i due numeri hanno lo stesso numero di cifre, si parte da sinistra e si confrontano quelle con la stessa posizione. Non appena si incontra la prima cifra diversa ci si ferma. La cifra maggiore corrisponde al numero maggiore.


Se le cifre aventi stessa posizione sono tutte uguali, allora i due numeri sono uguali.

 

 

Facciamo subito un esempio: confrontiamo 1278 e 1268.

 

I due numeri hanno lo stesso numero di cifre (quattro). Per confrontarli partiamo quindi dalla prima cifra a sinistra, che è 1 per entrambi. Andiamo avanti: la seconda cifra è 2 in entrambi.

 

Proseguiamo ancora: la terza cifra è 7 nel primo numero e 6 nel secondo. Essendo 7>6 (ossia 7 maggiore di 6) risulta che 1278>1268.

 

 

Ora tocca a voi! Usando lo stesso metodo, provate a vedere che 12784281>12784251 e che 7852=7852.

 

 

Abbiamo appena visto che, dati due numeri naturali, è sempre possibile confrontarli e quindi stabilire se sono uguali o se l'uno è maggiore o minore dell'altro. In "matematichese" questa proprietà si traduce dicendo che:

 

l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N} è un insieme ordinato

 

Rappresentazione grafica dei numeri naturali

 

L'insieme ordinato dei numeri naturali può essere rappresentato nel seguente modo:

 

- disegnamo una semiretta (ovvero una linea orizzontale come quella che segue);

 

- segniamo un segmento u a piacere, che considereremo come unità di misura, e a partire dall'inizio riportiamo tale segmento sulla semiretta;

 

- facciamo corrispondere al primo trattino lo zero, al secondo l'uno, al terzo il due... e così via.

 

Ecco un disegnino che mostra ciò che abbiamo appena descritto a parole.

 

 

Numeri naturali

 

 

Bene. Quella che vedete è proprio quella che viene detta rappresentazione grafica dei numeri naturali. Più facile di così non si può!

 

 


 

 

Per questa lezione è davvero tutto, o quasi. Per chi fosse interessato ecco il trucchetto per distinguere il simbolo del maggiore (>) da quello del minore (<).

 

Tracciate due lineette sulla barra bassa dei due simboli, proprio come mostrato in figura:

 

 

Simboli di maggiore e minore

 

 

Potete notare una certa somiglianza coi numeri sette e quattro. Bene! Ora vi chiediamo: quale dei due numeri è il maggiore? Ovviamente il sette. Proprio ad esso corrisponde quindi il segno maggiore (>) e di conseguenza al numero 4 corrisponde il simbolo minore (<).

 

Per farla breve: ogni qualvolta avete un dubbio e non sapete se il simbolo che vi trovate di fronte rappresenza il maggiore o il minore, tracciate questa lineetta. Se ottenete un 4 siete di fronte al simbolo di minore, mentre se ne risulta un 7 siete davanti al simbolo del maggiore.

 

 


 

Qui abbiamo finito, ma prima di salutarvi ci teniamo a ribadire un importante aspetto che abbiamo anticipato ad inizio lezione. Alcuni autori nella Letteratura matematica decidono di definire i numeri naturali escludendo lo zero. È una scelta del tutto arbitraria ed accettabile: dal canto nostro preferiamo la definizione che include lo zero, quindi a meno che non sia diversamente specificato faremo riferimento ad essa. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino 

 

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