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Espressioni con le frazioni

Amiche e amici delle scuole medie! Saper semplificare le espressioni con le frazioni è fondamentale se volete imparare a fare bene i conti con i numeri razionali (cioè le frazioni, cioè i numeri in \mathbb{Q}) e soprattutto se volete superare verifiche e interrogazioni in tutta tranquillità!

 

In questo semplice articolo spiegheremo il metodo passo passo per calcolare il valore di un'espressione con le frazioni, e lo applicheremo nel caso di un esempio svolto. Per poter affrontare la spiegazione è importante saper svolgere le operazioni con le frazioni: casomai volessi ripassare ti basta leggere la lezione del link.

 

A fine lezione troverete inoltre un rimando ad una scheda di esercizi accuratamente svolti utili per mettere a frutto ciò che avete appreso qui. Smile

 

Come semplificare le espressioni con le frazioni

 

Vediamo il procedimento di semplificazione delle espressioni con le frazioni, nudo e crudo, senza conti e senza numeri, ma solo parole: poi ci occuperemo di usarlo nella risoluzione di un esercizio.

 

Procediamo per casi. Dapprima vi diremo come procedere nelle espressioni con frazioni in cui compaiono solo addizioni e sottrazioni, per poi passare alle espressioni in cui vi sono solo moltiplicazioni e divisioni. Infine vedremo come ci si comporta nelle espressioni con frazioni in cui compaiono tutte le operazioni, comprese le potenze.

 

 

Caso 1: nella nostra espressione compaiono solamente somme e sottrazioni.

 

 

1) Seguire l'ordine delle parentesi: prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre ed infine le parentesi graffe.

 

2) Al primo passaggio svolgeremo solo le operazioni che riguardano le parentesi tonde. In ciascuna di esse avremo delle somme e delle differenze di frazioni, che dovremo calcolare per prime.

 

3) Per calcolare le somme e le differenze di frazioni (in ciascuna delle parentesi tonde) dobbiamo calcolare il denominatore comune delle frazioni che ci sono.

 

Il denominatore comune è il minimo comune multiplo dei singoli denominatori, quindi calcoliamo il minimo comune multiplo dei denominatori che compaiono nella coppia di parentesi tonde.

 

Poi calcoliamo i termini della frazione comune: per ogni singola frazione dividiamo il minimo comune multiplo per il denominatore della frazione e moltiplichiamo il risultato per il denominatore della frazione. Ad esempio:

 

\frac{3}{4}+\frac{2}{12}-\frac{7}{6}+4

 

il minimo comune multiplo tra i denominatori è 12, quindi avremo come frazione comune

 

\frac{\dots + \dots - \dots + \dots}{12}

 

Per ognuna delle frazioni dividiamo il denominatore comune per il denominatore della singola frazione e moltiplichiamo il risultato per il numeratore della frazione.

 

Nella prima: (12:4)\times 3=9 ; nella seconda (12:12)\times 2=2 e per la terza (12:6)\times 7=14. Per la quarta, essendo la frazione un numero intero, ci basta ricordare che il denominatore è 1 e quindi (12:1)\times 4=48. La frazione comune dell'esempio è quindi

 

\frac{9 + 2 -14 +48}{12}=\frac{45}{12}.

 

4) Dopo aver calcolato tutte le somme e le differenze di frazioni che prima comparivano nelle varie parentesi tonde, ci troviamo con ciascuna coppia di parentesi tonde con una sola frazione all'interno.

 

Controlliamo se si tratta di una frazione impropria o apparente, e se è così riduciamola ai minimi termini. Ad esempio se abbiamo come prima \frac{45}{12}, possiamo ridurla ai minimi termini e passare a \frac{15}{4} semplificando tutti i fattori in comune tra numeratore e denominatore.

 

5) Eliminiamo le parentesi tonde e facciamo attenzione ai segni:

 

- se davanti alla parentesi tonda abbiamo un segno +, possiamo togliere le parentesi ricopiando semplicemente il contenuto della coppia di parentesi;

 

- se davanti alla coppia di parentesi tonde abbiamo un segno -, possiamo togliere le parentesi tonde ricopiando il contenuto della coppia di parentesi e cambiandone il segno.

 

6) Ora abbiamo un'espressione con le frazioni in cui compaiono solamente parentesi graffe e quadre.

 

7) Ripetiamo i passaggi da 2) a 5) dove però al posto delle parentesi tonde lavoriamo con le parentesi quadre.

 

8) A questo punto avremo un'espressione con le frazioni con sole parentesi graffe.

 

9) Ripetiamo i passaggi da 2) a 5) dove però al posto delle parentesi tonde lavoriamo con le parentesi graffe.

 

10) Abbiamo un'espressione con le frazioni senza parentesi: calcoliamo le somme e le differenze di frazioni. In pratica facciamo come in 3), solo che qui non dobbiamo preoccuparci delle parentesi! Smile

 

 

Caso 2: espressioni con frazioni in cui compaiono solo moltiplicazioni e divisioni.

 

 

Il procedimento non si differenzia molto dal caso precedente. Molto semplicemente, partendo dalle parentesi tonde, andremo a calcolare le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui compaiono ricordano che:

 

- per eseguire la moltiplicazione tra due frazioni si utilizza il metodo delle semplificazioni ad incrocio (ben spiegato nella lezione precedente);

 

- per eseguire una divisione tra due frazioni basta riscrivere la divisione tra le due frazioni come il prodotto tra la prima e la frazione reciproca della seconda.

 

Vediamo un esempio.

 

\frac{3}{2} \times \frac{4}{9} : \frac{8}{9} \times 2

 

Eseguiamo dapprima il prodotto tra le prime due frazioni. Semplificando ad incrocio (il 3 con il 9 ed il 4 con il 2) avremo

 

\frac{^1\not{3}}{_1\not{2}} \times \frac{\not{4}^2}{\not{9}_3} = \frac{2}{3}

 

Ci siamo quindi ricondotti a

 

\frac{3}{2} \times \frac{4}{9} : \frac{8}{27} \times 2=\frac{2}{3}:\frac{8}{9} \times 2

 

Ora, la divisione tra le prime due frazioni ci dà (moltiplicando la prima per la reciproca della seconda)

 

\frac{2}{3}:\frac{8}{9}=\frac{2}{3} \times \frac{9}{8} = \frac{3}{4}

 

Per concludere il nostro calcolo, dobbiamo moltiplicare per 2. 

 

\frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2}

 

che è il risultato di quanto ci siamo proposti di calcolare.

 

Caso 3: espressione con frazioni in cui compaiono tutte le operazioni.

 

In questo caso bisogna innanzitutto tener presente l'ordine delle parentesi: prima tonde, poi quadre, poi graffe.

 

Per quanto rigurda l'ordine delle operazioni, eseguiremo dapprima l'elevamento a potenza, poi moltiplicazioni e divisioni ed infine addizioni e sottrazioni.

 

Svolgimento di un'espressione con le frazioni

 

Calcoliamo il valore della seguente espressione

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \left(2-\frac{5}{4}-\frac{3}{8}\right)^2 - \left(\frac{7}{3}-\frac{9}{4} \right)^2 : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \left(1+\frac{5}{7}\right)

 

e procediamo seguendo i passaggi visti poco sopra.

 

1) Seguiamo l'ordine delle parentesi.

 

2) Ci sono tre coppie di parentesi tonde, cominciamo da quelle.

 

3) Calcoliamo in ciascuna delle tre coppie di parentesi tonde i denominatori comuni

 

\mbox{mcm}(4,,8)=8

 

\mbox{mcm}(4,3)=12

 

Nell'ultima coppia di parentesi tonde, il denominatore comune è, evidentemente, 7.

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \left(\frac{... - .... - ...}{8}\right)^2 - \left(\frac{...-...}{12} \right)^2 : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \left(\frac{...+...}{7}\right)

 

Passiamo al calcolo dei termini delle frazioni comuni, come descritto in precedenza:

 

Prima frazione: (8:1)\times 2=16\ ;\ (8:4)\times 5=10\ ;\ (8:8)\times 3=3

 

Seconda frazione: (12:3)\times 7=28\ ;\ (12:4)\times 9=27

 

Terza frazione: (7:1)\times 1=7\ ;\ (7:7)\times 5=5

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \left(\frac{16 - 10 - 3}{8}\right)^2 - \left(\frac{28-27}{12} \right)^2 : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \left(\frac{7+5}{7}\right)

 

Facciamo i conti

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \left(\frac{3}{8}\right)^2 - \left(\frac{1}{12} \right)^2 : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \left(\frac{12}{7}\right)

 

4) Eleviamo a potenza:

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \left(\frac{9}{64}\right) - \left(\frac{1}{144} \right) : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \left(\frac{12}{7}\right)

 

5) Per eliminare le parentesi tonde seguiamo la regola dei segni

 

\left\{ \left[ \frac{2}{3} \times \frac{9}{64} - \frac{1}{144}  : \frac{2}{9} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \frac{12}{7}

 

6) Non ci sono più le parentesi tonde. Wink

 

7) Abbiamo una coppia di parentesi quadre. Seguendo l'ordine delle operazioni, eseguendo cioè prima moltiplicazione e divisione e poi la sottrazione si ha:

 

\frac{2}{3} \times \frac{9}{64} = \frac{3}{32}

 

\frac{1}{144}  : \frac{2}{9} = \frac{1}{144} \times \frac{9}{2} = \frac{1}{32}

 

da cui

 

\frac{3}{32}-\frac{1}{32}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}

 

Anche la parentesi quadra è sistemata. Ci siamo ricondotti ad avere:

 

\left\{ \left[ \frac{1}{16} \right] : \frac{3}{7} \right\}\times \frac{12}{7}

 

ovvero, eliminando la coppia di quadre (ormai superflua):

 

\left\{\frac{1}{16} : \frac{3}{7} \right\}\times \frac{12}{7}

 

8) Ci sono solo parentesi graffe? Sì, è ok! Tongue

 

9) Abbiamo capito come fare, non ci resta che eseguire la divisione tra le due frazioni all'interno delle graffe

 

\frac{1}{16} : \frac{3}{7} = \frac{1}{16} \times \frac{7}{3} = \frac{7}{48}

 

10) Svolgiamo gli ultimi calcoli e abbiamo finito:

 

\frac{7}{48} \times \frac{12}{7} = \frac{1}{4}

 

L'espressione è stata semplificata, e il risultato è 1/4.

 

 

Lettura consigliata: espressioni con le potenze - click!

 

 


 

Se vuoi vedere un po' di esercizi svolti e spiegati, trovi sotto la scheda di esercizi correlati e, se non bastano, puoi trovare quanti ne vuoi con la nostra barra di ricerca. Wink Buono studio!

 

Adjö, see you soon guys!

Agente Ω

 

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