Logo


             | 

Espressioni con le frazioni

Amiche e amici delle scuole medie! Saper semplificare le espressioni con le frazioni è fondamentale se volete imparare a fare bene i conti con i numeri razionali (cioè le frazioni, cioè i numeri in \mathbb{Q}) e soprattutto se volete superare verifiche e interrogazioni in tutta tranquillità! Smile

 

In questo semplice articolo spiegheremo il metodo passo passo per calcolare il valore di un'espressione con le frazioni, e lo applicheremo nel caso di un esempio svolto. Per poter affrontare la spiegazione è importante saper svolgere le operazioni con le frazioni: casomai volessi ripassare ti basta leggere la lezione del link.

 

Come semplificare le espressioni con le frazioni

 

Vediamo il procedimento di semplificazione delle espressioni con le frazioni, nudo e crudo, senza conti e senza numeri, ma solo parole: poi ci occuperemo di usarlo nella risoluzione di un esercizio.

 

0) Nella nostra espressione compaiono solamente somme e sottrazioni.

 

1) Seguire l'ordine delle parentesi: prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre ed infine le parentesi graffe.

 

2) Al primo passaggio svolgeremo solo le operazioni che riguardano le parentesi tonde. In ciascuna di esse avremo delle somme e delle differenze di frazioni, che dovremo calcolare per prime.

 

3) Per calcolare le somme e le differenze di frazioni (in ciascuna delle parentesi tonde) dobbiamo calcolare il denominatore comune delle frazioni che ci sono.

 

Il denominatore comune è il minimo comune multiplo dei singoli denominatori, quindi calcoliamo il minimo comune multiplo dei denominatori che compaiono nella coppia di parentesi tonde.

 

Poi calcoliamo i termini della frazione comune: per ogni singola frazione dividiamo il minimo comune multiplo per il denominatore della frazione e moltiplichiamo il risultato per il denominatore della frazione. Ad esempio:

 

\frac{3}{4}+\frac{2}{12}-\frac{7}{6}+4

 

il minimo comune multiplo tra i denominatori è 12, quindi avremo come frazione comune

 

\frac{\dots + \dots -\dots +\dots}{12}

 

Per ognuna delle frazioni dividiamo il denominatore comune per il denominatore della singola frazione e moltiplichiamo il risultato per il numeratore della frazione.

 

Nella prima: (12:4)\times 3=9 ; nella seconda (12:12)\times 2=2 e per la terza (12:6)\times 7=14. Per la quarta, essendo la frazione un numero intero, ci basta ricordare che il denominatore è 1 e quindi (12:1)\times 4=48. La frazione comune dell'esempio è quindi

 

\frac{9 + 2 -14 +48}{12}=\frac{45}{12}.

 

4) Dopo aver calcolato tutte le somme e le differenze di frazioni che prima comparivano nelle varie parentesi tonde, ci troviamo con ciascuna coppia di parentesi tonde con una sola frazione all'interno.

 

Controlliamo se si tratta di una frazione impropria o apparente, e se è così riduciamola ai minimi termini. Ad esempio se abbiamo come prima \frac{45}{12}, possiamo ridurla ai minimi termini e passare a \frac{15}{4} semplificando tutti i fattori in comune tra numeratore e denominatore.

 

5) Eliminiamo le parentesi tonde e facciamo attenzione ai segni:

 

- se davanti alla parentesi tonda abbiamo un segno +, possiamo togliere le parentesi ricopiando semplicemente il contenuto della coppia di parentesi;

 

- se davanti alla coppia di parentesi tonde abbiamo un segno -, possiamo togliere le parentesi tonde ricopiando il contenuto della coppia di parentesi e cambiandone il segno.

 

6) Ora abbiamo un'espressione cone le frazioni in cui compaiono solamente parentesi graffe e quadre.

 

7) Ripetiamo i passaggi da 2) a 5) dove però al posto delle parentesi tonde lavoriamo con le parentesi quadre.

 

8) A questo punto avremo un'espressione con le frazioni con sole parentesi graffe.

 

9) Ripetiamo i passaggi da 2) a 5) dove però al posto delle parentesi tonde lavoriamo con le parentesi graffe.

 

10) Abbiamo un'espressione con le frazioni senza parentesi: calcoliamo le somme e le differenze di frazioni. In pratica facciamo come in 3), solo che qui non dobbiamo preoccuparci delle parentesi! Smile

 

Svolgimento di un'espressione con le frazioni

 

Calcoliamo il valore della seguente espressione

 

\left\{\left[\left(\frac{74}{24}+\frac{2}{3}-\frac{3}{8}\right)+\left(2+7-\frac{25}{30}\right)-\frac{11}{4}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\left(\frac{11}{15}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}\right)\right]\right\}

 

e procediamo seguendo o passaggi visti poco sopra.

 

1) Seguiamo l'ordine delle parentesi.

 

2) Ci sono tre coppie di parentesi tonde, cominciamo da quelle.

 

3) Calcoliamo in ciascuna delle tre coppie di parentesi tonde i denominatori comuni

 

mcm(24,3,8)=24

mcm(1,1,30)=30

mcm(15,4,6)=60

 

\left\{\left[\left(\frac{.. + .. - ..}{24}\right)+\left(\frac{.. + .. - ..}{30}\right)-\frac{11}{4}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\left(\frac{.. + .. - ..}{60}\right)\right]\right\}

 

Passiamo al calcolo dei termini delle frazioni comuni, come descritto in precedenza:

 

Prima frazione: (24:24)\times 74=74\ ;\ (24:3)\times 2=16\ ;\ (24:8)\times 3=9

 

Seconda frazione: (30:1)\times 2=60\ ;\ (30:1)\times 7=210\ ;\ (30:30)\times 25=25

 

Terza frazione: (60:15)\times 11=44\ ;\ (60:4)\times 3=45\ ;\ (60:6)\times 5=50

 

\left\{\left[\left(\frac{74 + 16 - 9}{24}\right)+\left(\frac{60 + 210 - 25}{30}\right)-\frac{11}{4}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\left(\frac{44 + 45 - 50}{60}\right)\right]\right\}

 

Facciamo i conti

 

\left\{\left[\left(\frac{81}{24}\right)+\left(\frac{245}{30}\right)-\frac{11}{4}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\left(\frac{39}{60}\right)\right]\right\}

 

4) Riduciamo ai minimi termini le frazioni delle singole coppie di parentesi tonde:

 

\frac{81}{24}=\frac{27}{8}\ ;\ \frac{245}{30}=\frac{49}{6}\ ;\ \frac{39}{60}=\frac{13}{20}

 

5) Per eliminare le parentesi tonde seguiamo la regola dei segni

 

\left\{\left[\frac{27}{8}+\frac{49}{6}-\frac{11}{4}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\frac{13}{20}\right]\right\}

 

6) Non ci sono più le parentesi tonde. Wink

 

7) Ripetiamo il procedimento relativo alle parentesi tonde, applicandolo però ora alle coppie di parentesi quadre. Tutto il lavoro si riduce alla prima, perché la seconda coppia è già a posto così.

 

\left\{\left[\frac{\dots +\dots -\dots}{24}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\frac{13}{20}\right]\right\}

 

\left\{\left[\frac{81 +196 -66}{24}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\frac{13}{20}\right]\right\}

 

\left\{\left[\frac{211}{24}\right]-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\left[\frac{13}{20}\right]\right\}

 

\left\{\frac{211}{24}-\frac{3}{8}\right\}-\left\{2+\frac{3}{5}+\frac{13}{20}\right\}

 

8) Ci sono solo parentesi graffe? Sì, è ok! Tongue

 

9) Abbiamo capito come fare, non ci resta che ripetere il procedimento:

 

\left\{\frac{\dots -\dots}{24}\right\}-\left\{\frac{\dots +\dots +\dots}{20}\right\}

 

\left\{\frac{211 -9}{24}\right\}-\left\{\frac{40 +12 +13}{20}\right\}

 

\left\{\frac{202}{24}\right\}-\left\{\frac{65}{20}\right\}

 

\left\{\frac{101}{12}\right\}-\left\{\frac{13}{4}\right\}

 

\frac{101}{12}-\frac{13}{4}

 

10) Svolgiamo gli ultimi calcoli e abbiamo finito:

 

\frac{\dots -\dots}{12}

 

\frac{101 -39}{12}=\frac{62}{12}=\frac{31}{6}

 

Ora abbiamo veramente finito: l'espressione è stata semplificata, e il risultato è 31/6.

 


 

Se vuoi vedere un po' di esercizi svolti e spiegati, ne puoi trovare quanti ne vuoi con la nostra barra di ricerca. Wink Buono studio!

 

Adjö, see you soon guys!

Agente Ω

 

Lezione precedente............Esercizi correlati..........Lezione successiva

 

Utile?  

 


Tags: espressioni con le frazioni - come si semplifica un'espressione con le frazioni - come risolvere un'espressione con le frazioni.

 

ly

 

Espressioni con le frazioni