Operazioni con gli angoli

Le operazioni con gli angoli sono le quattro operazioni algebriche di base in cui gli operandi sono dati dalle ampiezze di angoli: somma, differenza di angoli, moltiplicazione e divisione di un angolo per un numero.

 

Questa lezione è dedicata alle operazioni fondamentali con gli angoli e con le misure degli angoli. Non sarà una lezione troppo difficile, soprattutto se avete già una buona dimestichezza con gradi, primi e secondi e se sapete già come ridurre in forma normale la misura di un angolo.

 

Somma tra due angoli

 

Per effettuare la somma di due misure angolari è necessario addizionare rispettivamente tra loro i gradi, i primi e i secondi, ed eventualmente ridurre in forma normale il risultato.

 

Vediamone un esempio:

 

 

\begin{array}{c c c c}25^\circ&50'& 49''&+\\ 35^\circ&20'& 12''&=\\ \cline{1-4}60^\circ & 70'&61''\end{array}

 

 

Attenzione! Dobbiamo scrivere la somma in forma normale, notate infatti che sia i primi che i secondi superano 59, utilizzando la tecnica vista in questa lezione. 

 

 

60^\circ\,\,70'\,\,61''=61^\circ\,\,11'\,\, 1''

 

 

Facile, non trovate? L'operazione che richiede molta attenzione è certamente la sottrazione che è effettivamente più delicata.

 

Differenza tra angoli

 

Come avevamo preannunciato, la sottrazione richiede un po' di attenzione in più, perché possono intervenire i cosiddetti prestiti. Procediamo con un esempio facile, nel quale è sufficiente sottrarre tra loro i gradi, i primi e i secondi:

 

 

\begin{array}{c c c c}25^\circ&50'& 49''&-\\ 15^\circ&20'& 11''&=\\ \cline{1-4}10^\circ & 30'&38''\end{array}

 

 

Abbiamo risolto agevolmente questa operazione perché i primi e secondi del minuendo sono maggiori dei primi e secondi del sottraendo.

 

Cosa succede però se i primi o i secondi del minuendo sono minori dei primi o secondi del sottraendo?

 

Vediamo come fare svolgendo passo passo un esempio: vogliamo effettuare la sottrazione

 

 

120^\circ\,\,10'\,\,2''- 20^\circ\,\,20'\,\,33''

 

 

Scriviamo l'operazione in colonna:

 

 

\begin{array}{c c c c}120^\circ&10'& 2''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}\end{array}

 

 

Concentriamoci sui secondi. Ci accorgiamo che la sottrazione non è possibile perché 2'' è più piccolo di 33'', quindi dobbiamo prendere in prestito un'unità dai primi. Ricordando che 1' coincide con 60'', essi saranno sommati ai secondi che abbiamo già in possesso.

 

Potremo quindi scrivere:

 

 

\begin{array}{c c c c} 120^\circ&9'& 60''+2''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}\end{array}

 

 

Ora possiamo effettuare la sottrazione

 

 

\begin{array}{c c c c} 120^\circ&9'& 62''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}&&29''&\end{array}

 

 

A questo punto possiamo dedicarci ai primi. Anche in questo caso abbiamo il solito problema: poco male, ripetiamo il procedimento che abbiamo usato nel caso dei secondi. Prendiamo in prestito una unità dai gradi e ricordiamo che 1^\circ= 60'

 

 

\\ \begin{array}{c c c c} 119^\circ&60'+9'& 62''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}&&29''&\end{array}\\ \\ \\ \begin{array}{c c c c} 119^\circ&69'& 62''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}&&29''&\end{array}

 

 

Adesso possiamo sottrarre i primi ed anche i gradi, quest'ultimi infatti non presentano problemi!

 

 

\begin{array}{c c c c} 119^\circ&69'& 62''&-\\ 20^\circ&20'& 33''&=\\ \cline{1-4}99^\circ&49'&29''&\end{array}

 

 

e abbiamo finito. ;)

 

Moltiplicazione di un angolo per un numero intero

 

Vediamo come moltiplicare una misura angolare per un numero intero. Contrariamente alla sottrazione, la moltiplicazione è molto, molto più semplice.

 

Dobbiamo moltiplicare separatamente i gradi, i primi e i secondi, per il numero intero ed eventualmente ridurre in forma normale. Partiamo con un esempio:

 

 

\begin{array}{c c c c} 29^\circ&41'& 30''&\times \\ &&4&=\\ \cline{1-4}\end{array}

 

 

Moltiplichiamo 30'' per 4, così da ottenere 120'':

 

 

\begin{array}{c c c c} 29^\circ&41'& 30''&\times \\ &&4&=\\ \cline{1-4}&&120''&\end{array}

 

 

Adesso moltiplichiamo 41' per 4, avremo 164':

 

 

\begin{array}{c c c c} 29^\circ&41'& 30''&\times \\ &&4&=\\ \cline{1-4}&164'&120''&\end{array}

 

 

Infine moltiplichiamo 29^\circ per 4, scriveremo 116^{\circ}

 

 

\begin{array}{c c c c} 29^\circ&41'& 30''&\times \\ &&4&=\\ \cline{1-4}116^{\circ}&164'&120''&\end{array}

 

 

Attenzione, il risultato ottenuto non è espresso in forma normale, rimane dunque l'ultimo passaggio:

 

 

\begin{array}{c c c c} 29^\circ&41'& 30''&\times \\ &&4&=\\ \cline{1-4}116^{\circ}&164'&120''&\\\downarrow & \downarrow &\downarrow &\\ \\118^{\circ}&46'&0''\end{array}

 

 

Ecco fatto! :) Manca solo la divisione per un numero intero positivo, che richiede una particolare attenzione.

 

Divisione di un angolo per un numero intero positivo

 

Come sempre procederemo con lo spiegare il metodo con un esempio:

 

 

121^{\circ}\,\,4'\,\,4'':4

 

 

Scriviamo la tabella e dividiamo per 4 i gradi, ottenendo 121:4= 30^\circ con resto 1^{\circ}

 

 

\begin{array}{c c c|c}121^{\circ}&4'&4''&4\\ \cline{4-4} 120^{\circ}&&&30^{\circ}\\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,1^{\circ}=60'&+4'&&\end{array}

 

 

Il resto parziale 1^{\circ} viene espresso in primi 1^{\circ}= 60' e sommato ai primi della traccia.

 

 

\begin{array}{c c c|c}121^{\circ}&4'&4''&4\\ \cline{4-4} 120^{\circ}&&&30^{\circ}\\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,&64'&&\end{array}

 

 

Dividiamo per 4 i primi: 64':4=16' con resto 0':

 

 

\begin{array}{c c c|c}121^{\circ}&4'&4''&4\\ \cline{4-4} 120^{\circ}&&&30^{\circ}\,\, 16'\\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,&64'&& \\ &64'&& \\\cline{2-2}&0'&4''\end{array}

 

 

Infine dividiamo i secondi per 4: 4'':4= 1'',  con resto 0''

 

 

\begin{array}{c c c|c}121^{\circ}&4'&4''&4\\ \cline{4-4} 120^{\circ}&&&30^{\circ}\,\, 16'\,\, 1''\\ \cline{1-1}\,\,\,\,\,&64'&& \\ &64'&& \\\cline{2-2}&0'&4''\\&&4''&\\ \cline{3-3} &&0''&\end{array}

 

 

Abbiamo portato a termine l'operazione! 

 

 


 

Avete notato che non abbiamo parlato di moltiplicazione né di divisione tra due angoli? La scelta non è frutto del caso: moltiplicando due angoli tra di loro si ottiene un risultato che non è più un angolo, com'è facilmente intuibile considerando l'unità di misura del risultato. Per quanto riguarda la divisione tra due angoli invece otterremo come risultato un numero puro.

 

Ecco quindi svelato l'arcano: in questo contesto abbiamo preferito limitarci alle operazioni che coinvolgono gli angoli e che danno come risultato un angolo. ;)

 

 

Alla prossima ragazzi!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

Lezione precedente


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