Espressioni con potenze

Le espressioni con potenze sono espressioni aritmetiche in cui compaiono numeri relativi ed eventualmente frazioni, a cui sono applicate delle potenze e che possono presentare parentesi che stabiliscono l'ordine dei calcoli.

 

Vediamo come risolvere le espressioni con le potenze. Sebbene molti ragazzi abbiano problemi nel risolvere questo tipo di esercizi, non sono difficili da svolgere, ve lo assicuriamo! È necessario seguire i prossimi passaggi in modo ordinato, né più né meno.

 

L'unico prerequisito vero e proprio prevede di ricordare la regola dei segni per le varie operazioni.

 

Come risolvere le espressioni con le potenze

 

Qui di seguito elenchiamo tutte le regole per risolvere le espressioni con potenze, dopodiché proporremo un paio di esempi svolti nel dettaglio e commentati.

 

 

Regola 1: se sono presenti delle parentesi è necessario risolvere le operazioni che sono dentro le tonde \color{red} ( \quad ), o in generale, le parentesi più interne, dopodiché prenderemo in esame le parentesi quadre \color{blue}[\quad  ] ed infine le graffe \color{green}\{\quad \}.

 

Ora vediamo l'ordine delle operazioni che dobbiamo eseguire.

 

 

Regola 2: calcoliamo le potenze! Ebbene sì, loro hanno la precedenza su tutti gli altri operatori. Attenzione qui: se è possibile utilizzare le ormai note proprietà delle potenze allora conviene assolutamente farlo, perché ci permetteranno si semplificare notevolmente i conti.

 

 

Regola 3: effettuiamo le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui compaiono.

 

 

Regola 4: risolviamo le addizioni e le sottrazioni sempre nell'ordine in cui compaiono.

 

Ecco un paio di esempi commentati su come risolvere le espressioni con potenze.

 

Esempio 1 sulle espressioni con potenze

 

Proponiamoci di risolvere la seguente espressione

 

\color{blue}\left[\color{black}1-\color{red}\left(\color{black}1+4-2^2\color{red}\right)\color{black} \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}3\times 2 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Iniziamo con lo svolgere le operazioni presenti nelle parentesi tonde. In particolare possiamo notare che nella prima coppia di parentesi tonde abbiamo una potenza che ha la precedenza sulle altre operazioni

 

\color{blue}\left[\color{black}1-\color{red}\left(\color{black}1+4-4\color{red}\right)\color{black} \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}3\times 2 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Nella parentesi tonda sono presenti una somma e una differenza. Risolviamo le operazioni così come vengono, dobbiamo quindi effettuare prima l'addizione poi la sottrazione

 

\\ \color{blue}\left[\color{black}1-\color{red}\left(\color{black}5-4\color{red}\right)\color{black} \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}3\times 2 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}\\ \\ \\ \color{blue}\left[\color{black}1-\color{red}\left(\color{black}1\color{red}\right)\color{black} \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}3\times 2 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Le operazioni nelle parentesi tonde sono finite, possiamo eliminare le parentesi tonde:

 

\color{blue}\left[\color{black}1-1 \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}3\times 2 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Concentriamoci sulle parentesi tonde rimaste, in esse appaiono una moltiplicazione, una sottrazione e una divisione. Diamo la precedenza al prodotto

 

\color{blue}\left[\color{black}1-1 \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}6 -10:5\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Ok, continuiamo ad occuparci della parentesi tonda, in cui compaiono una sottrazione e una divisione, quest'ultima ha la precedenza!

 

\color{blue}\left[\color{black}1-1 \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-\color{red}\left(\color{black}6 -2\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Risolviamo la differenza (6-2)=4

 

\color{blue}\left[\color{black}1-1 \color{blue}\right]\color{black}+\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-\color{blue}\left[\color{black}6-4\color{blue}\right]\color{black}\color{green}\right\}\color{black}

 

Le parentesi tonde sono sparite, possiamo occuparci delle parentesi quadre:

 

\\ \quad [1- 1]= 0\\ \\ \quad [6-4]=2

 

Otteniamo quindi:

 

\color{green}\left\{\color{black}2^{10}:2^{7}-2\color{green}\right\}\color{black}

 

Siamo quasi alla fine: ci restano da eseguire le operazioni contenute nelle parentesi graffe. Troviamo una divisione tra potenze aventi la stessa base, facciamo intervenire quindi la relativa regola.

 

\color{green}\left\{\color{black}2^{3}-2\color{green}\right\}\color{black}

 

Calcoliamo la potenza:

 

\color{green}\left\{\color{black}8-2\color{green}\right\}\color{black}

 

e diamo il colpo di grazia alla parentesi graffa, svolgendo l'ultima operazione:

 

\color{green}\left\{\color{black}8-2\color{green}\right\}\color{black}=6

 

Abbiamo terminato. Prima di passare al secondo esempio, una piccola osservazione: nel caso fossero presenti potenze negative, o più precisamente potenze con esponente negativo, dovremmo applicare la relativa regola e riscriverle sotto forma di frazione. Ciò ci rimanda, per l'appunto, al metodo di risoluzione delle espressioni con potenze in cui sono presenti le frazioni.

 

Esempio 2: espressioni con potenze e frazioni

 

Facciamo un altro esempio commentato sulla risoluzione di una espressione con le potenze e con le frazioni. In effetti nelle righe precedenti non abbiamo mai menzionato le frazioni, le quali aggiungono un grado di difficoltà alle espressioni con potenze.

 

In questo contesto è ovviamente utile saper risolvere le operazioni con le frazioni e le espressioni con le frazioni.

 

Consideriamo l'espressione

 

\color{red}\left(\color{black}\frac{1}{2}+1\color{red}\right)\color{black}^{2}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\color{red}\left(\color{black}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-1\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Nell'espressione compare un po' di tutto, ma non preoccupiamoci, seguiamo le quattro regole precedenti a cominciare dalla regola 1.

 

Occupiamoci delle parentesi tonde ed eseguiamo tutte le operazioni presenti al loro interno, ricordandoci che hanno la precedenza le potenze, dopodiché le moltiplicazioni e divisioni nell'ordine in cui compaiono, e lo stesso verrà fatto con le addizioni e sottrazioni:

 

\color{red}\left(\color{black}\frac{1+2}{2}\color{red}\right)\color{black}^{2}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\color{red}\left(\color{black}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-1\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Abbiamo svolto l'operazione nella prima parentesi tonda; sviluppiamo anche i conti dell'altra

 

\color{red}\left(\color{black}\frac{1+2}{2}\color{red}\right)\color{black}^{2}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\color{red}\left(\color{black}\frac{1+2-3}{3}\color{red}\right)\color{black}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Occupiamoci delle operazioni rimaste:

 

\color{red}\left(\color{black}\frac{3}{2}\color{red}\right)\color{black}^{2}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{2}{3}+\frac{2}{5}\color{black}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Ora calcoliamo la potenza della frazione

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{2}{3}+\frac{2}{5}\color{black}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

La prossima coppia di parentesi su cui dovremo lavorare è ovviamente la coppia di quadre, che presenta una somma di frazioni

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{10+6}{15}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Calcoliamo la somma al numeratore della frazione presente nella parentesi quadra

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times\color{blue}\left[\color{black} \frac{16}{15}\color{blue}\right]\color{black}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Possiamo eliminare la coppia di parentesi quadre perché non presenta altre operazioni:

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times \frac{16}{15}: \frac{3}{5^2}\color{green}\right\}\color{black}

 

Siamo quasi arrivati alla fine. Ora dobbiamo svolgere le operazioni presenti nelle parentesi graffe. Ci sono potenze, moltiplicazioni e divisioni, ma ormai sappiamo benissimo che le potenze hanno la precedenza.

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times \frac{16}{15}: \frac{3}{25}\color{green}\right\}\color{black}

 

Ora abbiamo divisioni e moltiplicazioni tra frazioni. Trasformiamo la divisione in moltiplicazione invertendo la frazione dopo il simbolo di divisione:

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{2}\times \frac{16}{15}\times\frac{25}{3}\color{green}\right\}\color{black}

 

Semplifichiamo a croce il semplificabile:

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{1}{1}\times \frac{8}{3}\times\frac{5}{3}\color{green}\right\}\color{black}

 

Un altro po' di conti:

 

\frac{9}{4}\times\color{green}\left\{\color{black}\frac{40}{9}\color{green}\right\}

 

Le operazioni all'interno delle parentesi graffe sono finite, quindi possiamo eliminarle:

 

\frac{9}{4}\times\color{black}\frac{40}{9}

 

Non ci resta che calcolare la moltiplicazione tra frazioni semplificando a croce

 

\frac{1}{1}\times\color{black}\frac{10}{1}= 10

 

 


 

È fatta! Con questo è tutto, vi suggeriamo di fare un bel po' di allenamento partendo da esercizi più semplici per alzare successivamente il livello. A questo proposito potete consultare gli esercizi sulle espressioni con potenze, tutti dettagliatamente risolti. Inoltre se volete verificare la correttezza dei risultati degli esercizi che vi sono stati assegnati per casa, potete usare lo strumento per risolvere le espressioni con le potenze online. Lo trovate qui: risolvi espressioni. ;)

 

 

A presto!

Salvatore Zungri

 

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