Frazione generatrice

Si dice frazione generatrice di un numero decimale quella frazione tale per cui la divisione tra numeratore e denominatore sia uguale al numero di partenza: vi sono regole diverse per trasformare un numero decimale in frazione e variano a seconda del tipo di numero che ci si presenta.

 

In questa lezione vedremo come si scrivono le frazioni generatrici dei numeri decimali e, viceversa, capiremo che tipo di numero decimale corrisponde alla divisione tra numeratore e denominatore di una frazione qualsiasi, semplicemente osservandone il denominatore.

 

Frazione generatrice di un numero decimale

 

Dato un qualsiasi numero decimale possiamo ricavare la sua frazione generatrice applicando una delle seguenti regole, che si differenziano a seconda del tipo di numero decimale che si ha di fronte.

 

Prima di proseguire con la lettura vi raccomandiamo, qualora non l'aveste già fatto, di prendere visione della lezione precedente sui numeri periodici dove abbiamo visto nel dettaglio come si classificano i numeri decimali.

 

Frazione generatrice di un numero decimale limitato

 

Per determinare la frazione generatrice di un numero decimale limitato scriveremo una frazione avente:

 

- a numeratore il numero senza virgola;

 

- a denominatore un 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali.

 

Esempi

 

\\ 1,01= \frac{101}{100} \\ \\ \\  0,11= \frac{11}{100} \\ \\ \\ 32,1=\frac{321}{10}

 

Frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice

 

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente:

 

- al numeratore la differenza tra l'intero numero scritto senza la virgola e la parte intera;

 

- al denominatore tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo.

 

Esempi

 

\\ 22,\overline{3}= \frac{223-22}{9}=\frac{201}{9} \\ \\ \\ 0,\overline{29}=\frac{29-0}{99}=\frac{29}{99} \\ \\ \\ 1,\overline{213}=\frac{1213-1}{999}=\frac{1212}{999}=\frac{404}{333}

 

Frazione generatrice di un numero decimale periodico misto

 

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione con:

 

- a numeratore la differenza tra l'intero numero senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo;

 

- a denominatore tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo, seguiti da tanti zeri quanti sono le cifre dell'antiperiodo.

 

Esempi

 

\\ 2,2\overline{3}= \frac{223-22}{90}=\frac{201}{90}=\frac{67}{30} \\ \\ \\ 0,2\overline{3}=\frac{23-2}{90}=\frac{21}{90}=\frac{7}{30} \\ \\ \\ 1,21\overline{3}=\frac{1213-121}{900}=\frac{1092}{900}=\frac{91}{75}

 

 

Con questo abbiamo visto tutti i metodi per calcolare la frazione generatrice di un numero decimale. I più attenti avranno notato che manca la regola per determinare la frazione generatrice dei numeri decimali illimitati non periodici. Il motivo è presto detto: per i numeri irrazionali non esiste una frazione generatrice.

 

Da qui è facile comprendere perché tali numeri vengano chiamati irrazionali: essi sono infatti tutti i numeri con la virgola che non rientrano nell'insieme dei numeri razionali, i quali per definizione sono i numeri esprimibili sotto forma di frazioni. ;)

 

Dalla frazione generatrice al numero decimale

 

Data una frazione, eseguendo la divisione tra numeratore e denominatore si ottiene un numero decimale. Ancor prima di eseguire la divisione è però possibile stabilire che tipo di numero decimale genera la frazione. Vediamo come procedere.

 

Si riduce la frazione ai minimi termini, e:

 

1) se il denominatore è 1, allora la frazione genera un numero intero (caso particolare di frazione apparente).

 

2) se il denominatore è diverso da 1, lo si scompone in fattori primi e si osservano i fattori della scomposizione:

 

- se tra i fattori appaiono solo 2 e 5, allora la frazione genera un numero decimale limitato.

 

- Se tra i fattori non appaiono né il 2 né il 5, allora la frazione genera un numero decimale illimitato periodico semplice.

 

- Se tra i fattori della scomposizione appaiono altri numeri primi oltre al 2 o al 5, allora la frazione genera un numero decimale illimitato periodico misto.

 

 

Esempi sul tipo di numero decimale che genera una frazione

 

1) Dire che tipo di numero decimale genera la frazione \frac{12}{32}.

 

Riduciamo la frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 4

 

\frac{12}{32}= \frac{3}{8}

 

Il denominatore è 8 scomposto in fattori primi diventa

 

8=2\times 2\times 2=2^3

 

Nella scomposizione appare solo il fattore 2, quindi il numero che genera la frazione è decimale limitato. Verifichiamolo eseguendo la divisione in colonna tra 12 e 32:

 

\begin{array}{ccccc|c}1 & 2 & & & & 32\\ \cline{6-6} & 0 & & & & 0,375\\ \cline{1-2}1 & 2 & \color{red}0 & & & \\&9&6 & &\\ \cline{1-3}&2&4&\color{red}0& \\ &2&2&4& \\ \cline{2-4}&&1&6&\color{red}0\\&&1&6&0\\\cline{3-5}&&=&=&=\end{array}

 

Pertanto 12:32=0,375 ed è, come ci aspettavamo, un numero decimale limitato. Se non ricordate come si svolgono le divisioni con la virgola potete dare un'occhiata alla lezione del link. ;)

 

 

2) Stabilire che tipo di numero genera la frazione \frac{18}{9}.

 

Riduciamo ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 9

 

\frac{18}{9}= \frac{2}{1}=2

 

Il denominatore è 1, quindi la frazione genera un numero intero (la frazione è apparente).

 

 

3) Che tipo di numero genera la frazione \frac{12}{18}\ ?

 

Riduciamo la frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 6

 

\frac{12}{18}= \frac{2}{3}

 

Il denominatore è 3 ed è già scomposto in fattori primi. Non appaiono né 2 né 5, quindi la frazione genera un numero decimale illimitato periodico semplice. Verifichiamolo con l'aiuto della calcolatrice:

 

2:3 = 0,666666666... = 0,\overline{6}

 

 

4) Ancor prima di eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, stabilire che tipo di numero decimale genera la frazione \frac{2}{12}.

 

Dividendo numeratore e denominatore per 2 riduciamo la frazione ai minimi termini:

 

\frac{2}{12}= \frac{1}{6}

 

Il denominatore è 6 e, scomposto in fattori primi, diventa:

 

6=2\times 3

 

Nella scomposizione appaiono sia un 2 che un altro numero primo diverso sia da 2 che da 5, quindi la frazione genera un numero decimale illimitato periodico misto. A voi il compito di verificare (con la calcolatrice o eseguendo la divisione in colonna) che

 

2:12=0,1\overline{6}

 

 


 

È davvero tutto! Non perdetevi la scheda correlata di esercizi svolti e, in caso di dubbi, vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna. Qui su YM abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Ifrit)

 

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