Calcolo percentuale

Il calcolo percentuale è un metodo di calcolo definito mediante le percentuali (simbolo %) e prevede di esprimere una parte di una quantità totale in centesimi, riscrivendo le frazioni come numeri interi o decimali seguiti dal simbolo percentuale.

 

Niente paura: la percentuale % ed il calcolo percentuale sembrano cose strane, ma non sono nulla di complicato. Oltre che in Matematica, nella vita di tutti i giorni sentiamo spesso parlare di percentuali e siamo abituati a sentire frasi del tipo

 

- "il 60% delle persone è castana"

- "l'iva è al 22%"

- "i prezzi sono aumentati del 2%"

 

e così via. Vediamo quindi di capire cos'è la percentuale di un numero o di una quantità, come calcolare le percentuali e di applicare il tutto ad alcuni esempi.

 

Definizione di percentuale

 

Prima di vedere come effettuare il calcolo percentuale dobbiamo innanzitutto partire dalla definizione di percentuale e capire in cosa consiste.

 

Che cosa rappresentano 60%, 22% e 2% che si leggeranno sessanta per cento, ventidue per cento e due per cento? Per capirlo basta farsi guidare dall'intuito. ;)

 

Dire, ad esempio, che il 92% (novantadue per cento) dei giocatori di basket è più alto di 190 cm vuol dire che ogni 100 giocatori di basket 92 sono più alti di 190 centimetri. Ancora, affermare che il 45% (quarantacinque per cento) degli studenti italiani odia la Matematica significa su 100 studenti 45 non hanno un buon rapporto con la Matematica.

 

Questo modo di esprimersi vi ricorda qualcosa? Certo che sì! È proprio il modo in cui si legge una frazione. Quindi

 

60\%=\frac{60}{100}, \quad 22\%=\frac{22}{100}, \quad 2\%=\frac{2}{100}, \quad 92\%=\frac{92}{100}, \quad 45\%=\frac{45}{100}

 

Possiamo così dare la seguente definizione di percentualela percentuale è una frazione avente come denominatore 100 e, su un totale, indica quante unità rispetto a 100 soddisfano una certa condizione.

 

Ora che dovrebbe essere chiaro cos'è una percentuale, soprattutto per gli studenti più volenterosi, generalizziamo il concetto.

 

Prendiamo un qualsiasi numero x con la virgola o senza (in pratica un qualsiasi numero decimale) e scriviamo

 

 

x\%

 

 

La precedente scrittura si legge "x per cento", il termine x si dice tasso percentuale e l'x per cento (x%) di una determinata quantità corrisponde a

 

 

x\%=\frac{x}{100}

 

 

Quindi, come già detto, considerare la percentuale x\% di qualcosa significa considerare la quantità pari a \frac{x}{100} di quel qualcosa. In buona sostanza una percentuale esprime una frazione in centesimi di una determinata quantità. Tutto qui!

 

Calcolo percentuale - trovare la quantità percentuale

 

Avete notato che la definizione stessa di percentuale fornisce immediatamente la formula di calcolo percentuale?

 

A tal proposito consideriamo un semplice esempio: sapendo che in Italia ci sono 60 000 000 di italiani e che il 20% degli italiani beve aranciata, quanti sono gli italiani che bevono aranciata?

 

Svolgimento: la traccia dell'esercizio ci chiede semplicemente di calcolare la percentuale 20% di 60 000 000

 

20\% \mbox{ di }60 \ 000 \ 000=\frac{20}{100}\times 60 \ 000 \ 000=\frac{1}{5}\times 60 \ 000 \ 000=12 \ 000 \ 000

 

Come potete vedere, se non avete problemi con le operazioni tra frazioni allora non avrete nemmeno problemi con il calcolo percentuale! Il procedimento è semplicissimo e per calcolare l'x% di una certa quantità è sufficiente moltiplicare quella quantità per x e dividere il tutto per 100:

 

 

x\%\ \mbox{di una quantit}\grave{\mbox{a}}=\frac{x}{100}\ \mbox{della quantit}\grave{\mbox{a}}

 

 

Se per un motivo o per l'altro vi servisse un tool per il calcolo percentuale online, potete dare un'occhiata qui.

 

Dalla percentuale alla frazione

 

Ora che abbiamo capito come effettuare il calcolo percentuale avendo il tasso e la quantità totale, vogliamo fare un passo in più e imparare a utilizzare le percentuali sotto ogni punto di vista. In questo senso la prima cosa da fare è imparare a convertire una percentuale nella corrispondente frazione.

 

Per farlo basta considerare il tasso percentuale e dividerlo per cento. In questo modo otteniamo una frazione che fornisce una rappresentazione alternativa della stessa quantità

 

Esempio: a quale frazione corrisponde la percentuale 15%?

 

Per scoprirlo basta usare la definizione e scrivere 15\%=\frac{15}{100}.

 

Quindi, in generale:

 

x\%\ \to\ \frac{x}{100}

 

Dalla frazione alla percentuale

 

Vediamo anche come effettuare l'operazione inversa e dunque come passare da una frazione alla percentuale corrispondente.

 

Se conosciamo una parte di una quantità espressa mediante una frazione e vogliamo scriverla sotto forma di percentuale è sufficiente esprimere la frazione come numero decimale e moltiplicarla per cento.

 

Esempio: la frazione \frac{9}{10} a quale percentuale corrisponde?

 

Svolgimento: per rispondere non dobbiamo fare altro che calcolare \frac{9}{10}\times 100=90, quindi \frac{9}{10}=90\%

 

Esprimiamo ora il procedimento di passaggio dalla frazione alla percentuale in matematichese.

 

Conoscendo una certa quantità Q espressa sotto forma di frazione \frac{m}{n}, per sapere a quale percentuale rispetto a Q corrisponde la frazione \frac{m}{n} occorre procedere come segue

 

 

\\ \frac{m}{n}\ =\ ?\%\\ \\ \\ \frac{m}{n}\ =\ \left(\frac{m}{n}\times 100\right)\%

 

 

Un altro esempio


I quattro quinti di 100 ragazzi ascoltano musica. A quale percentuale di ragazzi corrisponde la precedente frazione?

 

Svolgimento: grazie alla formula che abbiamo appena visto, ci basta calcolare

 

\frac{4}{5}\times 100=4\times 20=80

 

e quindi l'80% dei ragazzi ascolta musica. 

 

 

Per chi fosse interessato a capire come si ricava la formula per il passaggio dalla frazione alla percentuale, basta ragionare nel modo seguente. Se vogliamo trovare il numero x che esprime la frazione \frac{m}{n} come percentuale, basta ricordare che

 

x\%\ =\ \frac{x}{100}

 

quindi per far sì che

 

x\%\ =\ \frac{m}{n}

 

basta scrivere

 

\frac{x}{100}\ =\ \frac{m}{n}

 

e quindi

 

x=\frac{m}{n}\times 100

 

Calcolo percentuale con le proporzioni

 

Oltre ad esprimere le percentuali sotto forma di frazioni è anche possibile, in un modo del tutto equivalente, riscriverle mediante opportune proporzioni. Nella pratica ogni percentuale x% di una quantità Q può essere riscritta sotto forma di proporzione, quindi volendo possiamo effettuare il calcolo percentuale tramite le proporzioni.

 

In questo contesto i problemi possono variare a seconda di ciò che dobbiamo calcolare, ma possiamo giungere sempre alla soluzione considerando la relazione tra percentuale e proporzione

 

 

Quantità percentuale : Quantità totale = Percentuale : 100

 

 

dunque basterà impostare correttamente la proporzione a partire dal testo del problema e successivamente ricavare il valore incognito applicando le proprietà delle proporzioni.

 

 

Esempio: in una scuola 75 alunni su 300 portano gli occhiali. Qual è la percentuale degli alunni con gli occhiali?

 

Svolgimento: il rapporto degli alunni con gli occhiali è 75:300. Per esprimerlo sotto forma di percentuale dobbiamo considerare il totale non più come 300 ma come 100. Si deve cioè trasformare il rapporto 75:300 nel rapporto x:100.

 

Imposteremo allora la proporzione:

 

 

75:300=x:100

 

 

la quale, applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni, ci fornirà il valore della x

 

 

x=\frac{75 \cdot 100}{300}=25

 

 

Dunque su 100 alunni 25 portano gli occhiali, cioè esattamente il 25%.

 

Rappresentazione grafica delle percentuali

 

Le percentuali si rappresentano graficamente per mezzo degli areogrammi. Vediamo come utilizzarli per rappresentare le percentuali tramite il seguente esempio.

 

In Italia il 62% delle famiglie ha un cane, il 22% un gatto ed il 16% un criceto.

 

Per disegnare l'areogramma calcoliamo i valori dell'ampiezza degli angoli che corrispondono alle percentuali. Poiché un diagramma a torta altro non è se non un angolo giro e misurerà quindi 360° per trovare l'ampiezza degli angoli basta impostare le seguenti proporzioni:

 

 

\\ x:360=62:100 \ \to \ x=\frac{62 \cdot 360}{100}=223^{\circ}\\ \\ \\ y:360=22:100 \ \to \ y=\frac{22 \cdot 360}{100}=79^{\circ}\\ \\ \\ z:360=16:100 \ \to \ z=\frac{16 \cdot 360}{100}=58^{\circ}

 

 

Armandoci di goniometro possiamo quindi rappresentare graficamente le nostre percentuali:

 

 

Rappresentazione grafica percentuali

 

 


 

Con questo è tutto. Nella prossima lezione ci occuperemo dei problemi sul calcolo percentuale di sconto; per chi fosse interessato al calcolo dell'incremento percentuale, trattandosi di un problema un po' più delicato, abbiamo preferito trattare la questione in una pagina a parte. Ne parliamo qui:

 

variazione percentuale

 

- incremento percentuale.

 

Nel frattempo non perdetevi la scheda correlata di problemi ed esercizi svolti sul calcolo percentuale, e anche il tool per calcolare le percentuali online! ;)

 

 

Adiaŭ, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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