Frazioni proprie, frazioni improprie, frazioni apparenti

Le frazioni proprie, le frazioni improprie e le frazioni apparenti sono tipi di frazioni in cui rispettivamente il numeratore è minore del denominatore, il numeratore è maggiore del denominatore, il numeratore è un multiplo del denominatore. In particolare le frazioni apparenti sono esprimibili come numeri interi.

 

Quali sono i possibili tipi di frazioni? In questa lezione elencheremo le varie tipologie di frazioni, mostrando alcuni esempi e soprattutto spiegandone le definizioni. Vedremo che le frazioni si possono suddividere in frazioni proprie, frazioni improprie e frazioni apparenti.

 

Cominciamo? :)

 

I tre tipi di frazioni: proprie, improprie e apparenti

 

Ci sono solamente tre tipi di frazioni: possiamo avere a che fare con frazioni proprie, con frazioni improprie ed infine con frazioni apparenti. In base a quali proprietà si contraddistinguono queste tre tipologie?

 

Frazioni proprie

 

Le frazioni proprie sono, per definizione, frazioni in cui il numeratore è minore (più piccolo) del denominatore.

 

Stabilire se una frazione è propria non è affatto difficile: basta guardare numeratore e denominatore, e se il primo è minore del secondo allora abbiamo la conferma che si tratta di una frazione propria! :)

 

Qualche esempio di frazioni proprie:

 

\frac{1}{2},\ \ \frac{2}{3},\ \ \frac{72}{100},\ \ \frac{42}{400}

 

Non sono frazioni proprie

 

\frac{3}{2},\ \ \frac{4}{4},\ \ \frac{200}{100},\ \ 3

 

Volendoci esprimere in matematichese diremo che

 

\frac{m}{n} \ \mbox{frazione propria} \ \iff \ m<n

 

dove m ed n sono due numeri naturali con n diverso da zero.

 

Frazioni apparenti

 

Una frazione si dice apparente se... non è una frazione! In termini più precisi, abbiamo a che fare con frazioni apparenti se il numeratore è uguale al denominatore, oppure se il numeratore è un multiplo del denominatore.

 

Una frazione apparente è sempre esprimibile sotto forma di numero relativo (eventualmente come numero naturale se la frazione è positiva): è sufficiente semplificare il numeratore con il denominatore.

 

Come potete vedere, per capire se una data frazione è apparente basta confrontare numeratore e denominatore e:

 

1) stabilire se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore;

 

2) calcolare la divisione tra numeratore e denominatore, se il risultato è un numero intero allora la frazione è apparente.

 

Come esempi di frazioni apparenti possiamo considerare

 

\frac{5}{5}=1,\ \ \frac{10}{2}=5,\ \ \frac{400}{50}=8,\ \ \frac{42}{7}=6

 

mentre non sono frazioni apparenti

 

\frac{2}{3},\ \ \frac{3}{2},\ \ \frac{100}{33},\ \ \frac{33}{4}

 

Come indichiamo le frazioni apparenti con la scrittura matematica? Scriveremo:

 

\frac{m}{n} \ \mbox{frazione apparente} \ \iff \ m=n \ \mbox{oppure} \ m=kn

 

dove, al solito, m ed n sono due numeri naturali con n diverso da zero e k è un numero intero relativo.

 

Frazioni improprie

 

Le frazioni improprie sono frazioni in cui il numeratore è maggiore (più grande) del denominatore, ma non è un multiplo del denominatore (altrimenti avremmo a che fare con una frazione apparente).

 

Per capire se una frazione è impropria basterà quindi confrontare numeratore e denominatore, e se il primo è maggiore del secondo e non è un suo multiplo allora avremo la conferma che la frazione considerata è impropria.

 

Ecco alcuni esempi di frazioni improprie

 

\frac{4}{3},\ \ \frac{10}{7},\ \ \frac{100}{3},\ \ \frac{43}{42}

 

mentre non sono frazioni improprie

 

\frac{2}{3},\ \ \frac{4}{5},\ \ \frac{10}{22},\ \ \frac{30}{5}

 

In simboli:

 

\frac{m}{n} \ \mbox{frazione impropria} \ \iff \ m>n

 

con m ed n numeri naturali qualsiasi ed n diverso da zero.

 

Esempi su frazioni proprie improprie e apparenti

 

È giunto il momento di mettere in pratica quanto abbiamo imparato in questa lezione. Vediamo come si risolvono gli esercizi in cui bisogna capire qual è il tipo di frazione che abbiamo di fronte, e per farlo facciamo riferimento ad alcuni esempi.

 

 

1) \frac{2}{3} così come \frac{15}{30} e \frac{14}{49} sono frazioni proprie.

 

Per stabilirlo basta guardare ogni frazione data: poiché in ciascuno dei casi considerati il numeratore è minore del denominatore, capiamo subito che \frac{2}{3}, \ \frac{15}{30} \mbox{ e } \frac{14}{49} sono frazioni proprie.

 

Badate bene che per stabilire se una frazione è propria non è necessario che sia ridotta ai minimi termini. Possiamo infatti osservare che riducendo ai minimi termini una qualsiasi frazione propria si continuerà ad avere una frazione propria.

 

Ad esempio le due frazioni proprie \frac{15}{30} \mbox{ e } \frac{14}{49} continuano ad essere proprie anche dopo essere state ridotte:

 

\frac{15}{30}=\frac{1}{2}, \quad \frac{14}{49}=\frac{2}{7}

 

 

2) Stabilire che tipo di frazioni sono \frac{9}{8}, \ \frac{81}{27} \mbox{ e } \frac{5}{2}.

 

Poiché in tutte e tre le frazioni il numeratore è maggiore del denominatore possiamo affermare con certezza che non sono frazioni proprie. Siamo quindi dinanzi a frazioni improprie o frazioni apparenti.

 

Per stabilirlo con esattezza calcoliamo la divisione tra numeratore e denominatore:

 

- se il resto della divisione è uguale zero allora il numeratore è un multiplo del denominatore e quindi la frazione è apparente;

 

- se la divisione ha resto diverso da zero la frazione è impropria.

 

Quindi, poiché

 

\\ 9:8=1 \mbox{ resto } 1 \\ \\ 81:27=3 \mbox{ resto } 0 \\ \\ 5:2 = 2 \mbox{ resto } 1

 

possiamo dire che

 

\frac{9}{8} \mbox{ e } \frac{5}{2} sono frazioni improprie, mentre \frac{81}{27} è una frazione apparente.

 

Proprietà delle frazioni proprie ed improprie

 

Per concludere, vediamo un'importante relazione che lega le frazioni proprie con le frazioni improprie: la frazione reciproca di una frazione impropria è una frazione propria, e viceversa la reciproca di una frazione propria è una frazione impropria.

 

È normale che sia così, perché la frazione reciproca di una data frazione ha numeratore e denominatore scambiati rispetto alla frazione di partenza.

 

Esempi

 

\frac{3}{2} (frazione impropria) è la frazione reciproca di \frac{2}{3} che è una frazione propria.

 

Allo stesso modo \frac{8}{17} (frazione propria) è la frazione reciproca di \frac{17}{8} che è una frazione impropria.

 

 


 

E questo è tutto, amiche e amici! Per qualsiasi dubbio provate a fare un paio di ricerche qui su YM. Abbiamo risolto e spiegato tonnellate di esercizi fino all'ultimo passaggio!

 

 

Auf wiedersehen, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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