Problemi con le frazioni

Questa lezione è una guida semplice e veloce in cui proponiamo i metodi per risolvere i problemi con le frazioni: ne consigliamo la lettura agli studenti delle scuole Medie che non hanno ancora affrontato lo studio delle equazioni, ma anche ai genitori che vogliono aiutare i propri figli a studiare e a fare i compiti di Matematica. ;)

 

Il metodo per risolvere un qualsiasi esercizio sulle frazioni dipende dalla richiesta dell'esercizio. In genere sono coinvolti i seguenti personaggi:

 

1) una quantità totale Q;

2) una parte della quantità totale P;

3) una frazione, che chiamiamo f o anche \frac{m}{n}.

 

Le richieste possibili sono:

 

1) conosco la frazione e il totale, e devo calcolare la parte;

2) conosco la parte e il totale, e devo calcolare la frazione;

3) conosco la parte e la frazione, e devo calcolare il totale.

 

Vediamo come comportarci in ciascuno dei tre casi: per ciascuno di essi proponiamo prima un esempio e poi scriviamo la formula generale.

 

Calcolare la parte con frazione e totale

 

Immaginiamo di dover risolvere il seguente problema: Pippuzzo mangia i cinque settimi, cioè \frac{5}{7}, di una torta che pesa 420 grammi. Quanti grammi di torta ha mangiato?

 

Svolgimento: questo tipo di esercizi è il più semplice, perché la frazione va calcolata sulla quantità totale, e noi le conosciamo entrambe.

 

Dire che Pippuzzo ha mangiato i \frac{5}{7} della torta vuol dire che ha mangiato 5 parti su 7 della torta.

 

Prima di tutto ci calcoliamo il peso di un settimo, e per farlo ci basta dividere la quantità totale per 7, cioè per il denominatore della frazione


\frac{420}{7}=60\mbox{ g}

 

Poi, sapendo che ha mangiato cinque di queste parti, moltiplichiamo la quantità appena calcolata per 5, cioè per il numeratore della frazione


5\times 60=300\mbox{ g}

 

In un passaggio solo:

 

P=\frac{5}{7}\times 420=5\times \frac{420}{7}=5\times 60=300\mbox{ g}

 

La formula generale per risolvere questo tipo di problemi con le frazioni è


P=\frac{m}{n}\times T=m\times \left(\frac{T}{n}\right)

 

Calcolare la frazione con il totale e la parte

 

Vogliamo ora risolvere il seguente problema: Luca ha letto 40 pagine di un libro costituito 240 pagine. Qual è la frazione che esprime il numero di pagine lette da Luca?

 

In questo caso non dobbiamo fare altro che dividere il numero di pagine lette per il numero di pagine totali, cioè dividere le parti per la quantità totale

 

f=\frac{40}{240}

 

Potremmo lasciare il risultato così, ma non è molto carino. In questi casi è buona norma ridurre la frazione ai minimi termini (non sai come fare? Nessun problema, ti spieghiamo come procedere nella lezione del link).

 

f=\frac{40}{240}=\frac{1}{6}

 

Quindi Luca ha letto un sesto, cioè \frac{1}{6}, del libro.

 

La formula generale per questo tipo di problemi con le frazioni è

 

f=\frac{P}{T} (e poi ridurre ai minimi termini la frazione)

 

Calcolare il totale con la parte e la frazione

 

Per vedere come risolvere l'ultimo tipo di problemi, consideriamo il seguente problema: Marco corre per 500 metri, e ha percorso \frac{2}{5} del percorso totale. Calcolare la lunghezza del percorso totale.

 

Questo tipo di esercizi è il più delicato dei tre, perché la frazione si riferisce alla quantità totale, che noi non conosciamo. La frazione andrebbe infatti calcolata sul totale

 

\frac{2}{5}\times Q=500\mbox{ m}

 

Nessun problema, però: possiamo fare ricorso alla frazione inversa (detta anche frazione reciproca) e calcolare il totale con la frazione inversa calcolata sulla parte. In parole povere

 

Q=\frac{5}{2}\times 500\mbox{ m}

 

e quindi

 

Q=\frac{5}{2}\times 500\mbox{ m}=5\times \frac{500}{2}=5\times 250=1250\mbox{ m}

 

In definitiva, la formula da applicare in questo genere di problemi con le frazioni è

 

Q=\frac{m}{n}\times P=m\times \frac{P}{n}

 

 


 

Abbiamo finito! Se vuoi allenarti puoi metterti alla prova con la scheda di problemi risolti con le frazioni, e se non bastassero prova a cercare qui su YM con la barra di ricerca interna presente in cima ad ogni pagina; potrai consultare migliaia di esercizi e problemi completamente risolti e spiegati! ;)

 

 

Farvel, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente  Ω)

 

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