Problemi sui segmenti con prodotto e rapporto

Ultima puntata del mini-corso dedicato ai metodi per risolvere i problemi sui segmenti. Per concludere, vogliamo proporre il metodo generale, le formule ed alcuni esempi nel caso in cui si voglia calcolare la lunghezza di due segmenti a partire dal prodotto e dal rapporto delle loro lunghezze.

 

Cominciamo!

 

Lunghezza di due segmenti conoscendo il prodotto e il rapporto

 

È meglio mettere subito in chiaro che questo tipo di esercizi viene assegnato in seconda media, o comunque dopo aver affrontato lo studio della radice quadrata. Iniziamo con un esercizio tipo.

 

 

Il prodotto delle lunghezze di due segmenti è 60\ cm^2 e uno è i \frac{3}{5} dell'altro. Il nostro scopo è quello di determinare la loro lunghezza.

 

Soluzione

 

Il problema può essere schematizzato come segue. Detti \overline{AB}\mbox{ e } \overline{CD} i due segmenti abbiamo che:

 

 

\begin{cases}\overline{AB}\times \overline{CD}=60\,\, cm^2\\ \overline{\color{red}CD}\color{black}=\displaystyle\frac{\color{red}3}{\color{blue}5}\color{black}\overline{\color{blue}AB}\color{black}\\\overline{AB}=?\\\overline{CD}=?\end{cases}

 

 

Rappresentiamo, come ormai è nostra abitudine, dapprima il segmento \overline{AB} che moltiplica la frazione e suddividiamolo in tante parti uguli quante sono quelle del denominatore. Facciamo la stessa cosa con \overline{CD} che sarà suddiviso in 3 parti uguali (tante quante indicate dal numeratore della nostra frazione). Avremo allora: 

 

 

Frazionare due segmenti

 

 

dove, ciascuna parte, prende il nome di unità frazionaria.

 

Ora, con questi segmenti costruiamo un rettangolo avente come base \overline{AB} e come altezza \overline{CD}

 

 

Prodotto tra due segmenti

 

 

L'area di questo rettangolo sarà, ovviamente:

 

\overline{AB}\times\overline{CD}= 60\,\, cm^2

 

Se dividiamo l'area per \color{red}3\color{black}\times\color{blue}5\color{black}=15 otteniamo l'area di quello che si dice quadrato unitario il cui lato è dato dalla misura dell'unità frazionaria prima ricavata (come si può osservare dal disegno prima fatto). Abbiamo allora

 

\mbox{Area}_Q=\frac{\overline{AB}\times \overline{CD}}{\color{red} 3 \color{black} \times \color{blue} 5 }=4\,\, cm^2

 

Il lato del quadrato unitario è dato da:

 

\ell= \sqrt{\mbox{Area}_Q}=\sqrt{4}=2\,\, cm

 

e prenderà il nome di lato unitario. Grazie al lato unitario (la cui misura coincide con la lunghezza di ogni parte in cui abbiamo suddiviso i segmenti iniziali) possiamo calcolare la lunghezza dei due segmenti:

 

\overline{CD}= \ell\times \color{red}3\color{black}= 2\times 3=6\,\, cm

 

mentre:

 

\overline{AB}=\ell\times\color{blue} 5\color{black}=2\times 5=10\,\, cm

 

Ottenendo quindi le due lunghezze. Ora generalizziamo il tutto!

 

 

SCHEMA RISOLUTIVO

 

Supponiamo di conoscere il prodotto di due segmenti, e sappiamo che uno è \frac{\mbox{\color{red}numeratore}}{\mbox{\color{blue}denominatore}} dell'altro, per determinare la loro lunghezza seguiamo i passaggi:

 

1) Dividiamo il prodotto per il numero \color{red}\mbox{numeratore}\color{black}\times\color{blue}\mbox{denominatore}, in modo da ottenere l'area del quadrato unitario:

 

\mbox{Area}_Q= \mbox{prodotto}:(\color{red}\mbox{numeratore}\color{black}\times\color{blue}\mbox{denominatore} )

 

2) Estraiamo la radice quadrata dell'area precedentemente determinata, così da ottenere l'unità frazionaria:

 

\ell=\sqrt{\mbox{Area}_Q}

 

3) Calcoliamo la lunghezza dei due segmenti, utilizzando le formule:

 

\overline{AB}=\ell\times\color{blue}\mbox{denominatore}

 

\overline{CD}=\ell\times\color{red}\mbox{numeratore}

 

 

Come al solito vi sconsigliamo di imparare a memoria le formule. Sarebbe invece opportuno dedicare il vostro tempo a capire il ragionamento che c'è dietro; come avete potuto notare, soprattutto aiutandosi con la rappresentazione grafica, tutto diventa relativamente sempice e, soprattutto, non avrete difficoltà quando i problemi iniziano a complicarsi.

 

 


 

Abbiamo finito! Ordunque spero che questa lezione sia servita a chiarire i vostri dubbi. Se così non fosse, rivolgetevi tranquillamente al Forum di YouMath, cercheremo di aiutarvi nel migliore dei modi.

 

 

Salvatore Zungri (a.k.a Ifrit)

 

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