Problemi sui segmenti: differenza e prodotto, differenza e frazione

Continuiamo con lo studio dei metodi per risolvere tutti i problemi sui segmenti che si incontrano alle scuole Medie: questa lezione è la terza parte di un mini-corso di quattro puntate, in cui ci occupiamo del caso in cui si conoscono somma e rapporto o somma e prodotto delle lunghezze.

 

Il mini-corso è rivolto agli studenti delle scuole Medie e ai genitori che li assistono nello studio: ognuna delle quattro lezioni si occupa del metodo per una specifica tipologia di esercizio, che varia a seconda dei dati di cui si dispone.

 

Qui spieghiamo lo schema generale e tutte le formule necessarie per gli esercizi in cui sono assegnati la differenza tra le lunghezze dei segmenti ed in cui uno dei due segmenti è espresso come frazione dell'altro oppure uno dei due segmenti è multiplo dell'altro.

 

Lunghezza di due segmenti con differenza e frazione

 

Come sempre impostiamo un esercizio guida. La differenza di due segmenti è 12 cm ed uno è \frac{4}{7} dell'altro. 

 

Svolgimento

 

Scriviamo per bene i dati. A differenza di quanto visto per i problemi sui segmenti con somma e rapporto o somma e prodotto in questo caso occorre stabilire con esattezza, onde evitare spiacevoli sorprese, quali dei due segmenti è il maggiore. Come facciamo?

 

Innanzitutto assegnamo un nome ai due segmenti; diciamoli \overline{AB}\mbox{ e } \overline{CD} e scriviamoci la seconda relazione fornita dal problema

 

\overline{CD}=\frac{4}{7}\overline{AB}

 

A questo punto:

 

- se la frazione fornita dal problema è una frazione propria (numeratore minore del denominatore) allora il segmento che moltiplica la frazione (in questo caso \overline{AB}) è maggiore di \overline{CD}

 

- se la frazione con cui è definito il legame tra i due segmenti è una frazione impropria (numeratore maggiore del denominatore) il segmento che moltiplica la frazione sarà minore dell'altro.

 

Nel nostro esempio, essendo 4<7 possiamo concludere che \overline{AB}>\overline{CD} e quindi \overline{AB} sarà il primo termine della differenza (minuendo). Possiamo a questo punto scrivere i dati forniti dal problema.

 

 

\begin{cases}\overline{AB}-\overline{CD}=12\,\,cm\\ \overline{\color{red}CD}=\displaystyle\frac{\color{red}4}{\color{blue}7\color{black}}\overline{\color{blue}AB}\\\overline{AB}=?\\ \overline{CD}=?\end{cases}

 

 

Partiamo con la rappresentazione dei segmenti. Disegniamo innanzitutto il segmento che moltiplica la frazione e dividiamolo in tante parti uguali quante sono quelle del denominatore. Ciascuna di queste parti prende il none di prendiamo come unità frazionaria.

 

 

Frazionare un segmento

 

 

A questo punto riportiamo sotto il segmento \overline{AB} la rappresentazione grafica del segmento \overline{CD} avendo cura di allineare l'estremo C con l'estremo A. Il segmento \overline{CD} sarà formato da tanti parti (unità frazionarie) quanti sono quelli indicati dal numeratore della frazione del problema (nel nostro caso 4)

 

 

Problema sui segmenti con differenza e rapporto

 

 

Inoltre, nel disegno precedente, ricaviamo graficamente la differenza tra i due segmenti e riportiamone la misura.

 

Come si può facilmente osservare, il segmento differenza è formato da 3 parti di ugual misura la cui lunghezza è di 12 centimentri. Possiamo allora ricavare la misura di un singola parte (ovvero la misura dell'unità frazionaria) che è data da:

 

(12 \ cm):(3 \ \mbox{parti}) = 4 \ cm

 

A questo punto il gioco è fatto. Infatti, essendo il segmento \overline{AB} formato da 7 parti uguali ed il segmento \overline{CD} da 4, la loro misura è data da:

 

\\ \overline{AB}= (4 \ cm) \times (7 \ \mbox{parti}) = 28 \ cm\\ \\ \overline{CD}= (4 \ cm) \times (4 \ \mbox{parti}) = 16 \ cm

 

 

PROCEDIMENTO GENERALE

 

Sconsigliamo vivamente, per questo genere di problemi, di imparare formule a memoria. Come avete potuto notare da soli, con l'aiuto di un semplice disegno, è estremamente semplice giungere alla soluzione. Però, se proprio ci tenete, queste sono le formule generali.

 

Se abbiamo la differenza di due segmenti \overline{AB}-\overline{CD} e sappiamo che:

 

 

1)\ \ \ \overline{\color{red}CD}=\frac{\color{red}\mbox{numeratore}}{\color{blue}\mbox{denominatore}}\overline{\color{blue}AB}\color{black}\ \ \ \ \ \mbox{ con }\color{red}\mbox{numeratore}\color{black}<\mbox{\color{blue}{denominatore}}

 

Allora le lunghezze dei due segmenti sono date dalle formule:

 

\overline{\color{blue}AB}\color{black}= \mbox{differenza}:(\color{blue}\mbox{denominatore}\color{black}-\color{red}\mbox{numeratore }\color{black})\times\color{blue}\mbox{denominatore}

 

\overline{\color{red}CD}\color{black}= \mbox{differenza}:(\color{blue}\mbox{denominatore}\color{black}-\color{red}\mbox{numeratore }\color{black})\times\color{red}\mbox{numeratore}

 

 

2)\ \ \ \overline{\color{blue}AB}=\frac{\color{blue}\mbox{numeratore}}{\color{red}\mbox{denominatore}}\overline{\color{red}CD}\color{black}\ \ \ \ \ \mbox{ con }\color{blue}\mbox{numeratore}\color{black}>\mbox{\color{red}{denominatore}}

 

le lunghezze dei due segmenti sono date da:

 

\overline{\color{blue}AB}\color{black}= \mbox{differenza}:(\color{blue}\mbox{numeratore}\color{black}-\color{red}\mbox{denominatore }\color{black})\times\color{blue}\mbox{numeratore}

 

\overline{\color{red}CD}\color{black}= \mbox{differenza}:(\color{blue}\mbox{numeratore}\color{black}-\color{red}\mbox{denominatore }\color{black})\times\color{red}\mbox{denominatore}

 

 

In quest'ultimo caso rientrano anche i problemi sui segmenti con differenza e prodotto di cui ci occupiamo subito.

 

Lunghezza di due segmenti con differenza e prodotto

 

Come di consueto partiamo da un esempio. Supponiamo di voler determinare la lunghezza di due segmenti sapendo che la loro differenza è di 24 centimetri e che uno è il triplo dell'altro.

 

Per prima cosa estrapoliamo i dati del problema. Detti \overline{AB} \mbox{ e } \overline{CD} i due segmenti, supponendo che sia

 

\overline{AB}=3\overline{CD}

 

evidentemente, essendo \overline{AB} un multiplo di \overline{CD} avremo che \overline{AB}>\overline{CD}. Possiamo allora scrivere

 

 

\begin{cases}\overline{AB}-\overline{CD}=24\,\,cm\\ \overline{\color{blue}AB}={\color{blue}3}\overline{\color{red}CD}\\\overline{AB}=?\\ \overline{CD}=?\end{cases}

 

 

Come ormai dovreste aver capito è giunto il momento di fare il nostro amato disegnino. Rappresentiamo dapprima il segmento \overline{CD} (quello che moltiplica il nostro numero) e poi, avendo cura che l'estremo A sia allineato con l'estremo C, rappresentiamo il segmento \overline{AB} che misurerà 3 volte \overline{CD}. Infine ricaviamo graficamente la differenza e riportiamone il valore.

 

 

Problema sui segmenti con differenza e prodotto

 

 

In un batter d'occhio si osserva che la misura di un singola parte è data da

 

(24 \ cm):(2 \mbox{ parti})=12 \ cm

 

Abbiamo finito! Essendo infatti \overline{CD} formato da una singola parte e \overline{AB} da tre, si ha:

 

\\ \overline{CD}=12 \ cm\\ \\ \overline{AB}=(12 \ cm) \times (3 \mbox{ parti})=36 \ cm

 

Visto com'è semplice? Abbiamo fatto tutto senza ricorrere a nessuna formula imparata a memoria. Osservate però che riscrivendo la relazione

 

\overline{\color{blue}AB}={\color{blue}3}\overline{\color{red}CD}

 

come

 

\overline{\color{blue}AB}=\frac{{\color{blue}3}}{{\color{red}1}}\overline{\color{red}CD}

 

ricadiamo nel caso dei problemi sui segmenti con differenza e frazione (con numeratore maggiore del denominatore) visto nel paragrafo precedente la cui formula risolutiva continua a valere.

 

 


 

Ci siamo quasi, manca l'ultima puntata e abbiamo finito: qual è lo schema generale per i problemi in cui si conoscono il prodotto delle lunghezze ed il loro rapporto? Puoi scoprirlo nella lezione successiva...

 

 

Salvatore Zungri (a.k.a. Ifrit)

 

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