Problemi sui segmenti: somma e prodotto, somma e rapporto

Continuiamo con lo studio dei metodi per risolvere tutti i problemi sui segmenti che si incontrano alle scuole Medie: questa lezione è la seconda parte di un mini-corso di quattro puntate, in cui ci occupiamo del caso in cui si conoscono somma e prodotto delle lunghezze o somma e rapporto (un segmento è multiplo dell'altro).

 

In ognuna delle lezioni spieghiamo il procedimento generale, con formule ed esempi, per risolvere gli esercizi a partire da un particolare tipo di dati assegnati.

 

Cominciamo come al solito con un esempio concreto, poi passiamo alle formule...

 

Lunghezza di due segmenti conoscendo somma e rapporto


Abbiamo due segmenti  tali che la loro somma è 24 cm ed inoltre uno è \frac{5}{7} dell'altro.

 

Soluzione

 

Per prima cosa diamo dei nomi per formalizzare matematicamente il problema: chiamiamo \overline{AB} il segmento maggiore mentre chiamiamo \overline{CD} il segmento minore, e impostiamo i dati.

 

In questo caso:

 

 

\begin{cases}\overline{AB}+\overline{CD}=24\,\, cm\\ \overline{\color{red}CD}\color{black}=\displaystyle\frac{\color{red}5}{\color{blue}7\color{black}}\overline{\color{blue}AB\color{black}}\\ \overline{AB}=?\\ \overline{CD}=?\end{cases}

 

 

In generale è inutile imparare le formule a memoria! Se facciamo un piccolo disegno tutto risulterà relativamente semplice. Partiamo quindi con la rappresentazione grafica del segmento che moltiplica la frazione (in questo caso \overline{AB}) e suddividiamolo in tante parti uguali quante sono quelle del denominatore. Ciascuna di queste parti prende il nome di unità frazionaria.

 

 

Suddividere un segmento in unità frazionarie

 

 

Sotto tale segmento riportiamo il segmento \overline{CD}. Quanto sarà lungo? È il problema a dircelo!

 

Dovendo essere

 

\overline{\color{red}CD}=\frac{{\color{red}5}}{{\color{blue}7}} \mbox{ di }{\color{blue}AB}

 

il segmento \overline{CD} sarà formato da 5 parti (unità frazionarie) ovvero tante quante sono quelle del numeratore della nostra frazione. Riportiamo inoltre, nel disegno, la somma, tramite una parentesi graffa che racchiude i due segmenti

 

 

Problema sui segmenti con somma e rapporto

 

 

Se ci pensate un attimo per ricavare il disegno abbiamo applicato il concetto di frazione. Infatti affermare che

 

\overline{\color{red}CD}=\frac{{\color{red}5}}{{\color{blue}7}} \mbox{ di }{\color{blue}AB}

 

graficamente equivale a dividere il segmento \overline{AB} in 7 parti uguali (tante quante sono quelle del denominatore) ed il segmento \overline{CD} sarà pari a 5 di queste parti (tante quante quelle indicate dal numeratore).

 

Per fornire la soluzione al nostra problema ci basta osservare il disegno. Abbiamo in tutto 7+5=12 parti uguali e sappiamo che la somma è uguale a 24 cm.

 

Ne segue che la lunghezza di una singola parte (unità frazionaria) sarà data da:

 

(24 \ cm) : (12 \mbox{ parti}) = 2 \ cm

 

e, di conseguenza:

 

\\ \overline{AB}= (2 \ cm) \times (7 \mbox{ parti}) = 14 \ cm\\ \\ \overline{CD}= (2 \ cm) \times (5 \mbox{ parti}) = 10 \ cm

 

 

PROCEDIMENTO GENERALE

 

Se abbiamo la somma di due segmenti, \overline{AB} \mbox{ e } \overline{CD}, e sappiamo inoltre che

 

\overline{\color{red}CD}\color{black}=\frac{\color{red}\mbox{numeratore}}{\color{blue}\mbox{denominatore}}\color{black}\overline{\color{blue}AB}

 

allora:

 

1) calcolo la somma tra il numeratore e denominatore della frazione

 

\color{red}\mbox{numeratore}\color{black}+\color{blue}\mbox{denominatore}

 

2) Calcolo la lunghezza dei due segmenti utilizzando le formule:

 

\begin{matrix}\overline{\color{red}CD}\color{black}&= \mbox{Somma}:(\color{red}\mbox{numeratore}\color{black}+\color{blue}\mbox{denominatore}\color{black})\times\color{red}\mbox{numeratore}\\ \\\overline{\color{blue}AB}\color{black}&=\mbox{Somma}:(\color{red}\mbox{numeratore}\color{black}+\color{blue}\mbox{denominatore}\color{black})\times\color{blue}\mbox{denominatore}\end{matrix}

 

Lunghezza di due segmenti conoscendo somma e prodotto

 

Abbiamo due segmenti con somma 40 centimetri e tali da essere l'uno il triplo dell'altro.

 

Soluzione

 

Anche qui per iniziare estrapoliamo i dati del problema. Detti \overline{AB} \mbox{ e } \overline{CD} i due segmenti, sappiamo che

 

 

\begin{cases} \overline{AB}+\overline{CD} = 40 \ cm \\ {\overline{\color{red}CD}}= {\color{red}3} \times \overline{{\color{blue}AB}} \\ \overline{AB}=? \\ \overline{CD}=?\end{cases}

 

 

Rappresentiamo ora un segmento in veste del segmento \overline{AB} (quello che moltiplica il nostro numero) e disegniamo il segmento \overline{CD} che sarà lungo quanto 3 volte \overline{AB}

 

 

Problema con i segmenti conoscendo somma e prodotto

 

 

Come di consueto abbiamo riportato nel disegno anche la somma. Ora guardiamo il disegno: per come è stato ideato abbiamo 4 parti di uguale lunghezza la cui somma misura 40 cm. La lunghezza di una singola parte è quindi data da

 

(40 \ cm) : (4 \ \mbox{parti}) = 10 \ cm

 

Conseguentemente, essendo il segmento \overline{AB} pari ad una singola parte ed il segmento \overline{CD} equivalente a 3 parti si ha:

 

\\ \overline{AB}=10 \ cm\\ \\ \\ \overline{CD}= (3 \mbox{ parti}) \times (10 \ cm) = 30 \ cm

 

Osservate che non abbiamo fatto nulla di nuovo rispetto a quanto visto nel caso con somma e rapporto. Basta infatti pensare alla relazione

 

{\overline{\color{red}CD}}= {\color{red}3} \times \overline{{\color{blue}AB}}

 

come a

 

{\overline{\color{red}CD}}= \frac{{\color{red}3}}{{\color{blue}1}} \times \overline{{\color{blue}AB}}

 

ovvero ad una frazione avente come denominatore 1. In questo modo, sebbene sconsigliamo di imparare le formule a memoria e di ragionare in termini grafici, il procedimento generale che ci permette di affrontare i problemi sui segmenti con somma e prodotto è il seguente.

 

 

PROCEDIMENTO GENERALE

 

Se conosciamo la somma di due segmenti \overline{AB} \mbox{ e } \overline{CD} e sappiamo che

 

\overline{\color{red}CD}\color{black}=\frac{\color{red}\mbox{costante}}{\color{blue}\mbox{1}}\color{black}\times \overline{\color{blue}AB}

 

allora la lunghezza dei due segmenti è data da

 

\begin{matrix}\overline{{\color{blue}AB}} & = \mbox{Somma}:({\color{red}\mbox{costante}}+{\color{blue}1}) & \\ \\ \overline{{\color{red}CD}}&=\mbox{Somma}:({\color{red}\mbox{costante}}+{\color{blue}1})& \times & {\color{red}\mbox{costante}}\end{matrix}

 

 


 

Via uno, avanti un altro: nella prossima puntata vedremo come fare nel caso dei problemi sui segmenti in cui se ne conoscono la differenza ed una lunghezza è frazione o prodotto dell'altra. Ci vediamo nella prossima lezione...

 

 

Salvatore Zungri (a.k.a. Ifrit)

 

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