Inversamente proporzionale

La proporzionalità inversa è una relazione in cui due grandezze assumono valori il cui prodotto è costante. In simboli, diciamo che y è inversamente proporzionale a x se xy=c o equivalentemente se y=c/x, con c una costante.

 

Nella precedente lezione abbiamo avuto modo di vedere il significato della proporzionalità diretta. Qui vogliamo occuparci della proporzionalità inversa e spiegare cosa vuol dire che due grandezze sono inversamente proporzionali.

 

Definizione di grandezze inversamente proporzionali

 

Il modo migliore per capire la definizione di grandezze inversamente proporzionali è partire da un esempio. Siano allora x ed y due grandezze e, nello specifico, sia x la grandezza che esprime la velocità media di una macchina ed y la grandezza che esprime il tempo impiegato dall'auto per percorrere un certo tragitto.

 

 

Velocità dell'auto (x) espressa in km/h

Tempo impiegato (y) espresso in ore

20 km/h

24 ore

40 km/h

12 ore

60 km/h

8 ore

80 km/h

6 ore

 

 

Osservando i dati riportati in tabella possiamo notare che:

 

1) se la grandezza x raddoppia la grandezza y dimezza, se triplica x la grandezza y diventa la terza parte, e così via...

 

2) Il prodotto tra due valori corrispondenti delle grandezze x ed y è sempre costante:

 

20 \times 24 = 40 \times 12 = 60 \times 8 = 80 \times 6 = 480

 

Indicando con c tale prodotto costante, possiamo dare la seguente definizione di grandezze inversamente proporzionali: due grandezze si dicono inversamente proporzionali se, presi due qualsiasi valori corrispondenti delle grandezze x ed y, vale la relazione

 

 

x \times y = c

 

 

In alternativa, e ciò è del tutto equivalente, possiamo scrivere la formula di proporzionalità inversa come

 

 

y=\frac{c}{x}

 

 

Tale formula mette in evidenza che se due grandezze sono inversamente proporzionali allora ogni valore della seconda grandezza si ottiene dividendo la costante di proporzionalità c per il corrispondente valore della prima grandezza.

 

Notiamo infine che poiché il prodotto gode della proprietà commutativa, se una grandezza y è inversamente proporzionale rispetto a x, allora anche x è in proporzionalità inversa rispetto ad y.

 

Cosa significa che due grandezze sono inversamente proporzionali?

 

Affermare che due grandezze sono inversamente proporzionali significa avere a che fare con due grandezze che "variano in modo inverso", ossia se la prima grandezza raddoppia la seconda dimezza, se la prima grandezza triplica la seconda diventa la terza parte, e così via..

 

Il modo in cui variano è espresso, quantitativamente, dalla relazione

 

 

x \times y=c

 

 

e quindi dal numero c, che prende il nome di costante di proporzionalità inversa.

 

 

Esempio di grandezze inversamente proporzionali


Marco mangia dieci merendine in tre momenti diversi: le prime sei merendine in 1 minuto, poi tre in 2 minuti, ed infine per mangiare l'ultima, quand'è sazio, impiega 6 minuti. Se chiamiamo

 

\\ x=\mbox{ tempo impiegato}\\ \\ y=\mbox{ numero di merendine mangiate}

 

vediamo che le due grandezze x ed y soddisfano la condizione di essere inversamente proporzionali, perché ne soddisfano la definizione. Per vederlo è sufficiente calcolare i prodotti.

 

 

Tempo impiegato

Numero di merendine mangiate

Prodotto

1 minuto

6

1×6=6

2 minuti

3

2×3=6

6 minuti

1

6×1=6

 

 

La costante di proporzionalità inversa, in questo caso, è c=6.

 

Esempio di quantità che NON sono inversamente proporzionali


Se nell'esempio precedente Marco avesse impiegato 3 minuti per mangiare le seconde tre merendine, allora non avremmo avuto alcun tipo di proporzionalità inversa. Infatti

 

 

Tempo impiegato

Numero di merendine mangiate

Prodotto

1 minuto

6

1×6=6

3 minuti

3

3×3=9

6 minuti

1

6×1=6

 

 

ed il prodotto tra i valori corrispondenti delle due grandezze non sarebbe stato costante.

 

Dai due esempi fatti finora si capisce subito che: affinché due grandezze siano inversamente proporzionali, il loro prodotto deve essere costante.

 

Rappresentazione grafica di grandezze inversamente proporzionali


Nel piano cartesiano due grandezze inversamente proporzionali sono rappresentate da un'iperbole o da un ramo d'iperbole.

 

Riprendiamo l'esempio precedente e riportiamo tempo e numero di merendine mangiate da Marco in una tabellina:

 

 

\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \mbox{x}=\mbox{tempo} & \mbox{y}=\mbox{merendine} \\ \cline{1-2} 1 & 6 \\ \cline{1-2} 2 & 3 \\ \cline{1-2} 6 & 1 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

 

Riportando tali punti in un sistema di assi cartesiani avremo proprio un ramo d'iperbole (in rosso):

 

 

Rappresentazione-proporzionalità-inversa

 

Legame tra proporzionalità inversa e proporzioni

 

Per capire qual è il legame tra proporzioni e proporzionalità inversa riprendiamo l'esempio iniziale in cui x è la grandezza che esprime la velocità media dell'auto ed y è la grandezza che esprime il tempo impiegato dall'auto per percorrere un fissato tragitto.

 

Come verificheremo tra poco con un esempio, se x ed y sono due grandezze inversamente proporzionali allora i valori assunti dalla prima grandezza con i corrispondenti valori della seconda sono i medi e gli estremi di una proporzione.

 

Chiamiamo x_1, \ x_2, \ x_3, \ ... ciascun valore della grandezza x ed indichiamo con y_1, \ y_2, \ y_3, \ ... i valori corrispondenti della grandezza y.

 

 

Velocità dell'auto (x)

Tempo impiegato a percorrere un tragitto (y)

x1=20 km/h

y1=24 ore

x2=40 km/h

y2=12 ore

x3=60 km/h

y3=8 ore

x4=80 km/h

y4=6 ore

 

 

Poiché x ed y sono due grandezze inversamente proporzionali, il prodotto tra un qualsiasi valore della grandezza x ed il valore corrispondente della grandezza y si mantiene costante. Quindi, ad esempio:

 

20 \times 24 = 40 \times 12

 

dove, 20×24 e 40×12 sono i prodotti tra due valori corrispondenti delle grandezze x ed y che compaiono nella prima e nella seconda riga della precedente tabella.

 

Dalla proprietà fondamentale sappiamo che, in una proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. Dall'uguaglianza

 

20 \times 24 = 40 \times 12

 

possiamo allora pensare 20×24 come al prodotto tra i medi ed a 40×12 come al prodotto tra gli estremi di una proporzione, per cui possiamo scrivere la seguente proporzione

 

40:20=24:12

 

in cui 20 e 24, che sono due valori corrispondenti delle due grandezze, sono i medi mentre 40 e 12, due altri valori corrispondenti di x ed y, sono gli estremi.

 

L'affermazione iniziale può così dirsi verificata. ;)

 

 

In generale, se x ed y sono due grandezze inversamente proporzionali che assumono i valori

 

 

\\ x_1,\ x_2,\ x_3,\ ...\\ \\ y_1,\ y_2,\ y_3,\ ...

 

 

allora valgono tutte le proporzioni del tipo

 

 

\\ x_2:x_1=y_1:y_2 \\ \\ x_3:x_2=y_2:y_3 \\ \\ x_3:x_4=y_4:y_3

 

 

ossia

 

 

x_i:x_j=y_j:y_i

 

 


 

Con questo abbiamo terminato, nella lezione successiva parleremo della proporzionalità quadratica.

 

Se dovessero esserci dubbi o problemi, o se voleste consultare degli esercizi svolti sulla proporzionalità inversa, non esitate e usate la barra di ricerca interna. Tutto quello che vi serve è a portata di click! ;)

 

 

Sayonara, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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