Direttamente proporzionale

La proporzionalità diretta è una relazione tra due grandezze che assumono valori il cui rapporto è costante. In simboli diciamo che y è direttamente proporzionale a x se y/x=c o in modo equivalente se y=cx, con c una costante.

 

In questa lezione vogliamo spiegare uno dei più importanti tipi di proporzionalità: la proporzionalità diretta. La spiegazione è rivolta agli studenti della scuola media ma può essere utile per il ripasso di tutti gli studenti.

 

Definizione di grandezze direttamente proporzionali

 

Per capire la definizione di grandezze direttamente proporzionali partiamo da un esempio. Siano x ed y due grandezze e, nello specifico, sia x la grandezza che esprime la misura del lato e y la grandezza che esprime la misura del perimetro di un quadrato.

 

Ricordando che il perimetro di un quadrato si ottiene moltiplicando per 4 la misura del lato, assegniamo dei valori a caso alla grandezza x e ricaviamo il valore corrispondente per la grandezza y, riportando i dati in una tabella.

 

 

Lato del quadrato (x)

Perimetro del quadrato (y)

x1=1 cm

y1=4 cm

x2=2 cm

y2=8 cm

x3=3 cm

y3=12 cm

x4=4 cm

y4=16 cm

 

 

Leggendo con attenzione i dati riportati in tabella possiamo osservare che:

 

1) se raddoppia la grandezza x raddoppia anche la grandezza y, se triplica x triplica anche y, e così via..

 

2) Il rapporto tra due valori corrispondenti di tali grandezze è sempre costante, infatti

 

\frac{4}{1}=\frac{8}{2}=\frac{12}{3}=\frac{16}{4}=4

 

Indicando con c tale rapporto costante, possiamo allora affermare che presi due qualsiasi valori corrispondenti delle grandezze x e y, vale la relazione

 

\frac{y}{x}=c

 

Due grandezze di questo tipo, ossia tali che il rapporto tra i rispettivi valori si mantiene costante, si dicono direttamente proporzionali.

 

Volendo dare una definizione rigorosa, diremo che y è direttamente proporzionale a x se esiste un numero c (o meglio una costante c) tale che

 

 

\frac{y}{x}=c

 

 

In alternativa, il che è del tutto equivalente, possiamo scrivere la formula di proporzionalità diretta come

 

 

y=c \times x

 

 

ossia due grandezze sono direttamente proporzionali se ogni valore della seconda grandezza y si ottiene moltiplicando il valore corrispondente della prima grandezza x per una specifica costante c.

 

Notate che se y è in proporzionalità diretta con x con costante c, allora anche x è in proporzionalità diretta con y con costante 1/c. Infatti

 

 

\frac{y}{x}=c\ \to\ \frac{x}{y}=\frac{1}{c}

 

Che cosa significa che due quantità sono direttamente proporzionali?

 

La proporzionalità diretta tra due grandezze non è nient'altro che un legame che sussiste tra i valori assunti dalle due quantità. In termini pratici, due grandezze x,y sono direttamente proporzionali tra loro "se variano allo stesso modo".

 

Per intenderci, se x raddoppia raddoppierà anche y, se x dimezza si dimezzerà anche y, se x triplica anche y triplicherà, e così via..

 

Il modo in cui variano è espresso, in termini quantitativi, dal numero c, che è una costante dipendente dalle due quantità considerate e che prende il nome di costante di proporzionalità diretta.

 

 

Esempio di grandezze direttamente proporzionali


Nel primo giorno del mese Piero cammina per 100 metri e Luca per 200. Nel secondo giorno Piero percorre 200 metri, Luca invece 400; nel terzo, il buon Piero cammina per 300 m e Luca per 600.

 

In questo esempio abbiamo due grandezze x,y, dove x è la distanza percorsa giornalmente da Piero e y quella coperta da Luca.

 

Le due grandezze x, y sono direttamente proporzionali, infatti

 

 

\frac{x}{y}=\frac{1}{2}

 

 

per qualsiasi giorno che si consideri. Se infatti calcoliamo i rapporti tra le due quantità, abbiamo

 

 

Giorno

Distanza Piero, Luca

Rapporto

1

100 m, 200 m

100/200=1/2

2

200 m, 400 m

200/400=1/2

3

300 m, 600 m

300/600=1/2

 

 

Esempio di grandezze che NON sono direttamente proporzionali


Se Piero, nell'esempio precedente, avesse percorso 100 m, 200 m e 300 m e se Luca avesse camminato per 200m, 200m e 600m, allora le distanze percorse non sarebbero state direttamente proporzionali. Avremmo infatti avuto

 

 

Giorno

Distanza Piero, Luca

Rapporto

1

100 m, 200 m

100/200=1/2

2

200 m, 200 m

200/200=1

3

300 m, 600 m

300/600=1/2

 

 

e non avremmo avuto un rapporto costante.

 

 

Dagli esempi precedenti abbiamo capito che: per avere proporzionalità diretta, il rapporto tra le quantità deve essere costante.

 

Rappresentazione grafica di grandezze direttamente proporzionali

 

Nel piano cartesiano due grandezze direttamente proporzionali sono rappresentate da una retta passante per l'origine degli assi cartesiani.

 

Riprendiamo l'esempio precedente e riportiamo la distanza percorsa da Luca e Piero in una tabella:

 

 

\begin{array}{|c|c|} \cline{1-2} \mbox{x}=\mbox{Piero} & \mbox{y}=\mbox{Luca} \\ \cline{1-2} 100 & 200 \\ \cline{1-2} 200 & 400 \\ \cline{1-2} 300 & 600 \\ \cline{1-2}\end{array}

 

 

Riportando tali punti in un sistema di assi cartesiani avremo proprio una retta per l'origine (in rosso):

 

 

Grandezze-direttamente-proporzionali

 

Legame tra proporzionalità diretta e proporzioni

 

Proponiamoci ora di stabilire qual è il legame tra proporzioni e proporzionalità diretta; a tal proposito siano x ed y due grandezze direttamente proporzionali.

 

Si può verificare facilmente che i valori assunti dalla grandezza y sono gli antecedenti, e quelli assunti dalla grandezza x sono i conseguenti di una proporzione.

 

Per capire cosa vuol dire e per verificare quanto appena affermato, riprendiamo l'esempio iniziale in cui x è la grandezza che esprime la misura del lato di un quadrato ed y la grandezza che ne esprime il perimetro. Assegniamo inoltre un nome a ciascun valore: chiamiamo

 

x_1, \ x_2, \ x_3, \ ...

 

i valori assunti dalla grandezza x e

 

y_1, \ y_2, \ y_3, \ ...

 

i valori corrispondenti per la grandezza y.

 

 

Lato del quadrato (x)

Perimetro del quadrato (y)

x1=1 cm

y1=4 cm

x2=2 cm

y2=8 cm

x3=3 cm

y3=12 cm

x4=4 cm

y4=16 cm

 

 

Abbiamo già osservato che x ed y sono grandezze direttamente proporzionali in quanto il rapporto tra un qualsiasi valore di y ed il corrispondente valore di x si mantiene costante; ad esempio, focalizzando l'attenzione sulle prime due righe della tabella, avremo

 

\frac{4}{1}=\frac{8}{2}

 

Scriviamo tali rapporti sotto forma di divisione

 

4:1=8:2

 

Come possiamo osservare si è venuta a formare una proporzione in cui i valori assunti dalla grandezza y (4 e 8) sono gli antecedenti e i valori assunti dalla grandezza x (1 e 2) sono i conseguenti.

 

L'affermazione iniziale può dunque dirsi verificata e come abbiamo avuto modo di vedere discende dalla definizione di proporzionalità diretta. :)

 

In generale, se due grandezze x ed y assumono rispettivamente i valori

 

 

\\ x_1,\ x_2,\ x_3,...\\ \\ y_1,\ y_2,\ y_3,...

 

 

e se sono direttamente proporzionali, allora valgono tutte le proporzioni del tipo

 

 

\\ y_1:x_1=y_2:x_2 \\ \\ y_1:x_1=y_3:x_3 \\ \\ y_2:x_2=y_3:x_3 \\ \\ ...

 

 

cioè valgono tutte le proporzioni in cui i valori della prima grandezza sono i conseguenti ed i valori della seconda gli antecedenti.

 

Come abbiamo verificato con l'esempio, ciò è vero perché per definizione di grandezza direttamente proporzionali è costante il rapporto

 

 

\frac{y_i}{x_i}=\frac{y_j}{x_j}

 

 

tra due qualsiasi coppie di valori assunti dalle due grandezze.

 

 

Nota bene: poiché per una proporzione vale le proprietà dell'invertire, il legame tra proporzioni e proporzionalità diretta si può esprimere nel modo seguente: se x ed y sono due grandezze direttamente proporzionali, due valori (x1 e x2) assunti dalla grandezza x sono gli antecedenti, ed i corrispondenti valori (y1 e y2) assunti dalla grandezza y sono i conseguenti di una proporzione. In formule:

 

x_1:y_1=x_2:y_2

 

Dal momento che per una proporzione vale sia la proprietà del permutare i medi sia quella del permutare gli estremi, possiamo esprimere il legame tra proporzioni e grandezze direttamente proporzionali dicendo che due grandezze sono direttamente proporzionali se due valori presi a caso della prima grandezza (x1 e x2) ed i corrispondenti valori (y1 e y2) della seconda formano, nell'ordine, una proporzione:

 

x_1:x_2=y_1:y_2

 

 

Osservazione finale: proporzionalità diretta e costante di proporzionalità


Non confondete il fatto che il rapporto tra due grandezze sia costante con il valore specifico della costante di proporzionalità diretta. Infatti per avere due grandezze direttamente proporzionali è sufficiente che il loro rapporto sia costante!

 

A seconda delle grandezze che si considerano, poi, potremo avere una specifica costante di proporzionalità, ma per garantire la proporzionalità diretta è sufficiente e necessario che esse abbiano sempre lo stesso rapporto, qualunque esso sia.

 

 


 

Sei pronto a vedere il significato della proporzionalità inversa e della proporzionalità quadratica? Ne parliamo nelle prossime lezioni. ;)

 

Nel frattempo, se ci fosse qualcosa che non hai capito o se fossi alla ricerca di esercizi svolti sulla proporzionalità diretta, sappi che puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca.

 

 

Arvedze, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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