Proporzioni

Le proporzioni sono relazioni che coinvolgono quattro grandezze, scritte nella forma a:b=c:d. una proporzione è un'uguaglianza tra il rapporto di due grandezze ed il rapporto di altre due grandezze, e soddisfa alcune proprietà che permettono di effettuare i calcoli con le quantità coinvolte.

 

Che cos'è una proporzione? Spesso sentiamo parlare di grandezze e quantità proporzionali tra loro, o che sono in proporzione a qualcos'altro. In questa lezione spiegheremo qual è il significato aritmetico delle proporzioni, come si svolgono i problemi e gli esercizi, e come si usano nella pratica e nella vita di tutti i giorni.

 

Definizione di proporzione

 

Una proporzione non è nient'altro che un'uguaglianza tra due rapporti. Se abbiamo quattro numeri, o quantità, o grandezze a,b,c,d, e scriviamo

 

\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

 

Stiamo considerando un'uguaglianza tra il rapporto (divisione) tra a,b e il rapporto tra c,d. Un modo alternativo di scrivere la precedente uguaglianza è

 

a:b=c:d

 

A che cosa servono le proporzioni

 

Non c'è nessun significato nascosto, non c'è nulla di difficile: una proporzione serve solamente a dire che due coppie di numeri - nel caso precedente (a,b) e (c,d) stanno nello stesso rapporto tra loro. Non è importante quali siano, separatamente, i numeri a,b,c,d. Ciò che conta è il risultato delle divisioni a:b e c:d.

 

Una proporzione esprime cioè una particolare relazione tra due numeri: le due coppie di numeri devono avere lo stesso rapporto.

 

 

Esempio


80 sta a 40 come 2 sta a 1. Infatti 

 

\frac{80}{40}=2\ \ \ ;\ \ \ \frac{2}{1}=2

 

quindi

 

80:40=2:1

 

 

Se è la prima volta che hai a che fare con le proporzioni, probabilmente ti starai chiedendo "ma che me ne faccio di questa roba?!". Ti proponiamo un esempio che ti farà capire subito in che modo le proporzioni sono utili nella vita di tutti i giorni...

 

Ieri sono andato al bar, e ho mangiato due panini pagando 6 euro. Oggi ho tanta fame, e voglio mangiarmi tre panini. Il problema è che non so se i soldi che ho in tasca saranno sufficienti per pagare il conto. Se il barista non ha cambiato i prezzi, dovrò pagare un totale proporzionale al numero di panini ordinati. Ieri 2 panini per 6 euro, oggi 3 panini per quanto?

 

 

6:2=x:3

 

 

Dato che i due rapporti devono coincidere:

 

\frac{6}{2}=3\ \ \ ;\ \ \ \frac{x}{3}=3

 

da cui x=3\times 3=9. Dovrò quindi pagare 9 euro per tre panini: molto meglio stare a dieta. ;)

 

Proprietà delle proporzioni

 

Prima di tutto, un paio di nomi: chiamiamo estremi proporzionali i due numeri più esterni rispetto all'uguale, e chiamiamo medi proporzionali i due numeri più vicini all'uguale.

 

Nella precedente scrittura i due medi proporzionali sarebbero b,c, mentre gli estremi sarebbero a,d.

 

Valgono le seguenti proprietà per le proporzioni. Se a:b=c:d, allora:

 

 

Proprietà fondamentale

 

a\times d=b\times c

 

Proprietà dell'invertire

 

b:a=d:c

 

Permutare i medi

 

a:c=b:d

 

Permutare gli estremi

 

d:b=c:a

 

Proprietà del comporre

 

\\ (a+b):b=(c+d):d\\ \\ (a+b):a=(c+d):c

 

Proprietà dello scomporre: se a>b valgono

 

\\ (a-b):b=(c-d):d\\ \\ (a-b):a=(c-d):c

 

Proprietà del comporre e permutare

 

(a+b):(a-b)=(c+d):(c-d)

 

 

Nota bene: se vuoi leggere le spiegazioni dettagliate per le singole proprietà, puoi leggere le spiegazioni dei precedenti link.

 

Come risolvere gli esercizi sulle proporzioni con l'incognita x

 

Immaginiamo di dover risolvere un esercizio in cui vogliamo determinare una quantità incognita x, legata in una qualche proporzione ad altre tre grandezze a, b e c (come e quali dipenderà dal testo dell'esercizio). Un esempio è proprio quello sul bar che abbiamo visto in precedenza!

 

Per trovare la grandezza incognita x, dobbiamo impostare una proporzione, la quale sarà suggerita dal testo del problema. Supponiamo che tale proporzione sia della forma

 

a:x=b:c

 

Per trovare il valore di x non dovremo fare altro che usare la proprietà fondamentale, e riscrivere la proporzione come

 

a\times c=x\times b

 

A questo punto, per ricavare la x, basta dividere entrambi i prodotti per b

 

\frac{x\times b}{b}=\frac{a\times c}{b}

 

da cui ricaviamo il valore dell'incognita

 

x=\frac{a\times c}{b}

 

Esempio di applicazione delle proporzioni per risolvere i problemi

 

Proponiamoci di risolvere il seguente problema sulle proporzioni con incognita: ad un operaio occorrono 14400 euro per comprare una macchina. Sapendo che guadagna 540 euro in 3 giorni, quanti giorni dovrà lavorare per raggiungere una cifra utile ad acquistare la nuova auto?

 

Soluzione: per risolvere il problema è sufficiente impostare la seguente proporzione

 

540 \mbox{ euro} \ : \ 3 \mbox{ giorni di lavoro} \ = \ 14400 \mbox{ euro} \ : \ x \mbox{ giorni di lavoro}

 

ossia

 

540 : 3 = 14400 : x

 

Per trovare la grandezza incognita, e quindi sapere il numero di giorni di lavoro necessari a raggiungere la cifra di 14400 euro, basterà applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni

 

540 \times x = 3 \times 14400

 

per poi dividere ambo i membri della precedente uguaglianza per il coefficiente della x, ossia per 540

 

\frac{540 \times x}{540} = \frac{3 \times 14400}{540}

 

In tal modo avremo

 

x=\frac{43200}{540}=80

 

Pertanto l'operaio dovrà lavorare 80 giorni per raggiungere un guadagno utile all'acquisto della nuova auto. ;)

 

 


 

Nelle lezioni successive ci occuperemo di proporzionalità diretta e di proporzionalità inversa, e mostreremo qual è il legame che sussiste tra esse e le proporzioni in generale.

 

Nel frattempo, se volete consultare esercizi svolti e problemi sulle proporzioni, potete consultare la scheda correlata ed eventualmente fare buon uso della barra di ricerca. A proposito, c'è anche un tool per risolvere proporzioni online! ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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