Scomposizione in fattori primi

La scomposizione in fattori primi, o fattorizzazione in numeri primi, è un procedimento algebrico che permette di riscrivere un numero naturale come prodotto di numeri primi. Nel caso particolare di un primo, la scomposizione in fattori primi coincide con il numero stesso.

 

In questa lezione mostriamo come effetturare un'operazione di fondamentale importanza, a tutti i livelli, in Matematica: la scomposizione di un numero nel prodotto di numeri primi, nota anche come scomposizione in fattori primi.

 

 

Cosa sono i numeri primi? Ne abbiamo parlato nel dettaglio in una delle precedenti lezioni: un numero primo è un numero naturale maggiore di 1 che è divisibile solamente per 1 e per se stesso.

 

I primi dieci numeri primi sono, ad esempio: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

 

Cos'è la scomposizione in fattori primi?

 

Come dice la frase stessa, trovare la scomposizione in fattori primi di un numero vuol dire scrivere il numero dato come prodotto di numeri primi. Niente di più, niente di meno.

 

Come scomporre un numero in fattori primi

 

La prima cosa da imparare e da ricordare sono i criteri di divisibilità.

 

Richiamiamo brevemente quelli che si incontrano più spesso negli esercizi sulla fattorizzazione in primi e rimandiamo all'articolo del link precedente se si vuole un elenco di tutti i criteri possibili e immaginabili.

 

Criterio di divisibilità per 2: un numero naturale è divisibile per 2 se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8 o, equivalentemente: un numero è divisibile per 2 se è un numero pari.

 

Criterio di divisibilità per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

 

Criterio di divisibilità per 5: un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è 0 o 5.

 

Procedimento pratico per la scomposizione in fattori primi di un numero

 

Immaginiamo di voler scomporre in fattori primi un numero naturale a piacere.

 

- Se esso stesso è un numero primo, allora abbiamo già finito, perché la fattorizzazione è data dal solo numero.

 

- Se il numero non è primo, si parte col metodo vero e proprio.

 

Vediamo il metodo per determinare la scomposizione in fattori primi con un esempio.

 

 

Vogliamo calcolare la fattorizzazione in primi di 180.

 

 

1) Scriviamo il numero in una tabella tracciando accanto ad esso una linea verticale:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & \\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

2) Guardiamo il numero dritto negli occhi.

 

- L'ultima cifra è zero. Esso è quindi divisibile sia per 5 che per 2. Scegliamone uno (io preferisco il 5) e scriviamolo nella colonna di destra:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

3) Dividiamo 180 per il numero scritto, in questo caso 5, ottenendo 180:5=36

 

Riportiamo tale numero sotto il 180:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

Ripetiamo i punti 2) e 3) applicandoli al numero 36.

 

- L'ultima cifra a destra è un numero pari, esso è quindi divisibile per 2. Scriveremo quindi 2 nella colonna di destra accanto al 36:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & 2 \\ \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

- Dividiamo 36 per 2, ottenendo 18 che riporteremo sotto al numero 36:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & 2 \\ 18 & \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

Ora? Ormai dovreste aver capito: ripetiamo lo stesso procedimento per il numero 18.

 

18 è divisibile per 2, 18:2=9, quindi il passo successivo sarà:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & 2 \\ 18 & 2\\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

9 è divisibile per 3 e 9:3=3, pertanto scriveremo:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & 2 \\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & \\ \\ \end{array}

 

 

3 è un numero primo e come tale divisibile per se stesso; 3:3=1 quindi:

 

 

\begin{array}{c|c} 180 & 5\\ 36 & 2 \\ 18 & 2\\ 9 & 3\\ 3 & 3\\1 \\ \end{array}

 

 

Avendo ottenuto 1 nella colonna di sinistra ci fermiamo: abbiamo la scomposizione in fattori primi di 180, ora non ci resta che scrivere 180 come prodotto di primi.

 

Osserviamo con attenzione l'ultima tabella e chiediamoci: quali numeri compaiono nella colonna di destra?

 

2, \ 3, \ 5

 

Quante volte compare ciascun numero?

 

Il 2 compare due volte.

 

Il 3 compare due volte.

 

Il 5 compare una volta

 

Scriveremo allora:

 

180=2^{2} \times 3^{2} \times 5

 

Chiaro, no? Abbiamo semplicemente scritto i vari fattori della colonna di sinistra in un unico prodotto e sotto forma di potenze.

 

Un altro esempio sulla scomposizione in fattori primi

 

Vediamo velocemente un altro esempio: scomponiamo in fattori primi il numero 63.

 

Come nell'esempio precedente, prepariamo la tabella per la scomposizione in fattori primi

 

 

\begin{array}{r|c} 63 & \\ \\ \\ \\ \end{array}

 

 

Essendo la somma delle sue cifre (6+3=9) un multiplo di 3, dividiamo per 3 ottenendo 21

 

 

\begin{array}{r|c} 63 & 3\\21 & \\ \\ \\ \end{array}

 

 

Ancora: 21 è divisibile per 3, (21:3=7), quindi:

 

 

\begin{array}{r|c} 63 & 3\\21 & 3\\7 \\ \\ \end{array}

 

 

7 è primo; dividiamolo quindi per se stesso ottenendo 1:

 

 

\begin{array}{r|c} 63 & 3\\21 & 3\\7 & 7\\1 \\ \end{array}

 

 

Finito! La scomposizione di 63 in numeri primi è:

 

63= 3^2 \times 7

 

Principali impieghi della scomposizione in fattori primi

 

In matematica, la scomposizione di un numero naturale in fattori primi riveste un ruolo fondamentale. Essa viene utilizzata per:

 

- verificare se due numeri sono divisibili tra loro senza eseguire la divisione e, in tal caso, trovare il quoto;

 

- ricercare tutti i divisori di un numero;

 

- calcolare il massimo comun divisore e il minimo comune multiplo tra due o più numeri;

 

- ridurre una frazione ai minimi termini.

 

 


 

È tutto! Non perdetevi la prossima lezione, ci occuperemo del massimo comun divisore tra due o più numeri. E nel caso vi servisse uno strumento per calcolare la scomposizione in fattori primi online, date un'occhiata al tool del link! ;)

 

 

Namasté!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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