Problemi sui segmenti con somma e differenza

Questa lezione è in quattro puntate: l'obbiettivo è quello di spiegare come risolvere i problemi sui segmenti, ed è indirizzata ai ragazzi che stanno affrontando le scuole Medie inferiori e... Non solo! È rivolta ai genitori, che tra le mille cose da fare devono anche aiutare i propri figli a fare i compiti. ;)

 

D'altra parte nella nostra esperienza di tutoraggio siamo entrati più e più volte in contatto con papà e mamme disperate perché non riuscivano a seguire i figli nei loro studi e non sapevano come approcciarsi.

 

Dato che i vari problemi dipendono dal tipo di dati assegnati, in ciascuna delle quattro lezioni ci occuperemo di delineare uno schema generale per la risoluzione, presentando uno o più esempi e tutte le formule necessarie.

 

Alcuni concetti verranno dati per buoni e, se non lo fossero, ricordate che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna.

 

Lunghezza di due segmenti conoscendone somma e differenza

 

Prima di proporre le formule preferiamo procedere con esempi concreti, per poi generalizzare il procedimento. Supponiamo di dover determinare la lunghezza di due segmenti \overline{AB}, \overline{CD} di cui sappiamo che

 

\\ \overline{AB}+\overline{CD}=20\,\,cm\\ \\ \overline{AB}-\overline{CD}=10\,\,cm

 

Molti di voi penseranno che questo problemino sia semplice, ed in effetti lo è, ma ricordiamoci che siamo interessati al metodo che si usa nelle scuole medie!

 

Per i genitori: la prima cosa che vi viene in mente è utilizzare le equazioni, o ancora peggio, un sistema di equazioni, ma non potete! I vostri figli non conoscono le equazioni (almeno per il momento) per cui dovete adeguarvi alle loro conoscenze.

 

La prima cosa da fare è scrivere i dati, li schematizzeremo con una bella parentesi graffa (non è obbligatorio, però è tanto bellina!). Questo punto è fondamentale, i dati devono essere ben scritti di modo che non serva più leggere la traccia dell'esercizio.

 

Leggendo la traccia, i dati sono necessari per la risoluzione del problema sono

 

 

\begin{cases}\mbox{Somma}=\overline{AB}+\overline{CD}=20\,\, cm\\ \mbox{Diff.}=\overline{AB}-\overline{CD}=10\,\, cm\\ \overline{AB}=?\\ \overline{CD}=?\end{cases}

 

 

Se osserviamo la differenza, ci accorgiamo che essa è maggiore di zero: è un informazione da non sottovalutare perché implicitamente ci dice che il segmento \overline{AB} ha una lunghezza maggiore rispetto a \overline{CD}\,\,(\overline{AB}\textgreater \overline{CD})

 

Sotto queste condizioni, per determinare la lunghezza dei segmenti, ci sarà d'aiuto fare un piccolo disegno. Rappresentiamo innanzitutto il segmento più lungo \overline{AB} e sotto ad esso il segmento (più corto) \overline{CD}. Una volta disegnati ricaviamo graficamente la loro differenza (riportata in rosso) e con una parentesi graffa riportiamo il valore della somma:

 

 

problema sui segmenti con somma e differenza

 

 

Come possiamo osservare dal disegno, se dalla somma sottraiamo la differenza ci rimangono due segmenti di ugual misura (quelli rappresentati in blu) uno dei quali è proprio \overline{CD}.

 

Alla luce di ciò la lunghezza del segmento \overline{CD} sarà data da:

 

 

\overline{CD}=\frac{\mbox{Somma}-\mbox{Diff.}}{2}=\frac{20-10}{2}=5\,\,cm

 

 

Di conseguenza, la lunghezza di \overline{AB} si può ricavare come:

 

 

\overline{AB}=\overline{CD}+\mbox{Diff.} = 5 + 10 = 15 \ \ cm

 

 

Abbiamo finito! 

 

 

SCHEMA RISOLUTIVO

 

Se abbiamo la somma e la differenza di due segmenti di cui vogliamo calcolare la lunghezza dobbiamo utilizzare le seguenti formule:

 

 

Per la lunghezza del segmento più piccolo

 

 

\frac{\mbox{somma}-\mbox{differenza}}{2}

 

 

Per la lunghezza del segmento più grande

 

 

\mbox{segmento piccolo}+\mbox{differenza} 

 

 

Ad ogni modo sconsigliamo vivamente di imparare le formule a memoria perché con il passare del tempo si dimenticano! Se invece ci si aiuta con una semplice rappresentazione grafica tutto risulterà semplice, anche quando i problemi si complicano un po'.

 

 


 

Pronti a vedere come risolvere i problemi sui segmenti in cui se ne conoscono la somma e il rapporto? Sì? Non dovete fare altro che passare alla lezione successiva...

 

 

Salvatore Zungri (a.k.a. Ifrit)

 

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