Massimo Comune Divisore - MCD

Il massimo comune divisore di due o più numeri, indicato con il simbolo MCD, è il più grande divisore comune dei numeri considerati, e viene calcolato mediante il metodo di scomposizione in fattori primi.

 

In questo articolo spieghiamo che cos'è e a cosa serve il massimo comune divisore, o MCD, di due o più numeri interi relativi, proponendo esempi e mostrando come calcolare il M.C.D. di due o più numeri.

 

Se invece ti interessa sapere di tutto e di più sul minimo comune multiplo, clicca sul link e leggi l'articolo correlato!

 

Che cos'è il Massimo Comune Divisore?

 

Lo dice il nome stesso: il massimo comune divisore di due numeri è il più grande tra i divisori comuni di due numeri!

 

Non è chiaro? Vediamo un esempio: consideriamo due numeri: 24 e 36.

 

Quali sono i divisori di 24? Riportiamoli tutti tra parentesi graffe:

 

 

 \mbox{divisori di }24= \left\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \right\}

 

 

Quali sono i divisori di 36? 

 

 

\mbox{divisori di }36= \left\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 \right\}

 

 

Ora chiediamoci quali sono i divisori comuni a entrambi i numeri:

 

 

\mbox{divisori comuni di }24\mbox{ e }36=\left\{1,2,3,4,6,12\right\}

 

 

Di questa lista di numeri prenderemo il più grande, ovvero 12, esso  è il più grande tra i divisori comuni di 24 e 36! Scriveremo che:

 

 

\mbox{M.C.D.}(24, 36)= 12

 

 

dove MCD(24, 36) dovrà leggersi come Massimo Comun Divisore tra i numeri 24 e 36.

 

A cosa serve il Massimo Comune Divisore

 

Il calcolo del massimo comune divisore serve principalmente per ridurre una frazione ai minimi termini.

 

Se infatti abbiamo una frazione, ad esempio

 

\frac{24}{36}

 

calcoliamo il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore, 24 e 36, ossia

 

12=\mbox{MCD}(24,36)

 

possiamo riscrivere

 

\frac{24}{36}=\frac{12\times 2}{12\times 3}

 

Semplifichiamo 12:

 

\frac{24}{36}=\frac{2}{3}

 

la frazione è così ridotta ai minimi termini!

 

 

Regola: per ridurre ai minimi termini una frazione è sufficiente calcolare il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore e dividere per esso ciascun termine della frazione!

 

Esempio sul massimo comune divisore e sulle frazioni

 

Sapendo calcolare il MCD dei numeri 42 e 56 possiamo ridurre la frazione \frac{42}{56} ai minimi termini

 

\frac{42}{56}=\frac{42: 14}{56:14}=\frac{3}{4}

 

Abbiamo diviso per il massimo comune divisore tra 42 e 56, che è 14, sia il numeratore che il denominatore.

 

Come calcolare il Massimo Comune Divisore

 

Vediamo l'algoritmo per il massimo comune divisore nel caso generale.

 

Prendiamo due numeri naturali, per facilitare l'esposizione prenderemo in considerazione i numeri 2160 e 2880

 

1) Determino la scomposizione in fattori primi di entrambi i numeri

 

 

Calcolare il massimo comune divisore

 

 

Scriveremo

 

\\ 2160= 2^4\times 3^3\times 5\\ \\ 2880= 2^6\times 3^2\times 5

 

 

2) Guardo le scomposizioni dei numeri e moltiplico tra loro solamente i fattori primi che compaiono in entrambe le scomposizioni, prendendo però quelli che hanno l'esponente più piccolo.

 

I fattori comuni di 2160 e 2880 sono 2, 3 e 5. In particolare:

 

- nella scomposizione del numero 2160: 2 ha esponente 4, 3 ha esponente 3, 5 ha esponente 1;

 

- nella scomposizione del numero 2880: 2 ha esponente 6, 3 ha esponente 2, 5 ha esponente 1.

 

Di conseguenza seguendo la regola ottengo che

 

\mbox{MCD}(2160, 2880)= 2^4\times 3^2\times 5=720

 

Esempio sul calcolo del Massimo Comun Divisore

 

Vogliamo calcolare il massimo comun divisore tra i numeri 18 e 84: MCD(18,84).

 

 

1) Scomponiamo in fattori primi 18:

 

18=2\times 3^2

 

e scomponiamo in fattori primi 84

 

84=2^2\times{3}\times{7}

 

 

2) Considerando solamente i fattori primi comuni tra le due scomposizioni, e prendendoli con il minimo esponente, otteniamo il MCD.

 

MCD(18,84)=2\times{3}=6

 

Massimo comune divisore di tre o più numeri

 

Se invece volessimo calcolare il massimo comune divisore di tre o più numeri, dovremmo procedere in un modo del tutto simile:

 

1) Scomponiamo in fattori primi tutti i numeri.

 

2) Moltiplichiamo tra loro i fattori primi comuni a tutti i numeri, prendendo quelli che hanno esponente più piccolo!

 

Esempio sul Massimo comune divisore di tre numeri

 

Vogliamo calcolare il massimo comune divisore dei tre numeri 18, 84 e 360: MCD(18,84,360).

 

 

1) Scomponiamo in fattori primi 18, otteniamo

 

18=2\times3^2

 

Scomponiamo in fattori primi 84: abbiamo

 

84=2^2\times 3\times 7

 

Scomponiamo in fattori primi m=360: ricaviamo

 

360=2^3\times 3^2\times 5

 

 

2) Moltiplichiamo tra loro i fattori primi comuni prendendoli con il più piccolo esponente e otteniamo il MCD.

 

MCD(18,84,360)=2\times 3=6

 

Ecco fatto!

 

 


 

Se dovessi avere problemi con qualche esercizio, prova a dare un'occhiata alla scheda di esercizi sul massimo comune divisore: sono svolti e pieni zeppi di spiegazioni e suggerimenti. Invece, se volete verificare i risultati di altri esercizi che devi svolgere per casa, puoi usare lo strumento per il massimo comune divisore online.

 

 

Alla prossima!

Salvatore Zungri (Ifrit)

 

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