Radice cubica

La radice cubica di un numero (detto radicando), o radice con indice 3, è per definizione quel numero che elevato alla terza restituisce il radicando. La radice quadrata può essere calcolata per qualsiasi numero ed è l'operazione inversa dell'elevamento alla terza.

 

In questa semplice lezione parleremo della radice cubica di un numero, a volte detta radice terza. Vedremo quando si può parlare di radice cubica esatta e quando invece è necessario ricorrere all'approssimazione della radice cubica all'unità.

 

Poi ci occuperemo anche della nozione di cubo perfetto e mostreremo il metodo per calcolarne la radice terza senza usare la calcolatrice. Infine estenderemo il concetto di radice cubica anche ai numeri razionali, positivi e negativi.

 

Radice cubica di un numero naturale

 

Calcolare la radice terza o radice cubica di un numero naturale vuol dire trovare quel numero positivo che elevato alla terza ci dà come risultato il numero di partenza. Così, ad esempio:

 

\sqrt[3]{8}=2 \ \mbox{essendo} \ 2^3=8

 

\sqrt[3]{27}=3 \ \mbox{dal momento che} \ 3^3=27

 

\sqrt[3]{343}=7, \ \mbox{infatti} \ 7^3=343

 

Come già avrete sicuramente notato da soli, i concetti di base sono praticamente identici a quelli visti per la radice quadrata. Ad ogni modo, per non lasciare nulla al caso, rivediamo brevemente il nome dei termini di questa operazione:

 

- il numero di cui vogliamo calcolare la radice cubica si chiama radicando;

 

- il simbolo \sqrt[3]{ \ \ \ } si dice segno di radice cubica; notate che c'è il numero 3 in alto a sinistra, il quale sta proprio ad indicare che vogliamo estrarre la radice terza. Tale numeretto prende il nome di indice di radice.

 

- il risultato si dice proprio radice cubica.

 

 

Radice cubica

 

Radice cubica di un cubo perfetto

 

Consideriamo alcune radici terze, per esempio

 

\sqrt[3]{64}=4 \ \ \ \sqrt[3]{1000}=10 \ \ \ \sqrt[3]{729}=9 \ \ \ \sqrt[3]{18}=? \ \ \ \sqrt[3]{16}=? \ \ \ \sqrt[3]{25}=?

 

Possiamo notare che solo per alcuni numeri esiste la radice cubica esatta, ossia esiste un numero che elevato alla terza ci dà esattamente il radicando. Questi numeri (64, 1000, 729, 125...) si chiamano cubi perfetti.

 

 

Come facciamo a riconoscere i cubi perfetti?

 

Per stabilire se un numero è un cubo perfetto occorre scomporre il numero in fattori primi. Se la scomposizione ottenuta risulta uguale al prodotto di fattori tutti con esponente 3 o con esponente tali da essere un multiplo di 3, allora il numero è un cubo perfetto. 

 

Per esempio, utilizzando i criteri di divisibilità, proviamo a scomporre in fattori primi i numeri 64, 216, 1000 e 250 e vediamo se sono o meno dei cubi perfetti. 

 

\begin{array}{r|l r|l r|l r|l} {\color{Red}64} & 2 \ \ \ & {\color{Red}216} & 2 \ \ \ & {\color{Red}1000} & 5 \ \ \ & {\color{Red}250} & 5 \\ 32 & 2 \ & 108 & 2 \ & 200 & 5 \ & 50 & 5 \\ 16 & 2 \ & 54 & 2 \ & 40 & 5 \ & 10 & 5 \\ 8 & 2 \ & 27 & 3 \ & 8 & 2 \ & 2 & 2 \\ 4 & 2 \ & 9 & 3 \ & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & \ 3 & 3 \ & 2 & 2 \\ 1 & & \ 1 & & 1 \end{array}

 

Allora

 

64=2^{{\color{Blue}6}}, \ \ \ 216=2^{{\color{Blue}3}} \times 3^{{\color{Blue}3}}, \ \ \ 1000=2^{{\color{Blue}3}} \times 5^{{\color{Blue}3}}, \ \ \ 250=5^{{\color{Blue}3}} \times 2

 

216 e 1000 sono uguali al prodotto di numeri primi tutti con esponente 3 quindi sono dei cubi perfetti; 64 è uguale ad un numero primo (il numero 2) elevato a 6, il quale è un multiplo di 3. Di conseguenza anche 64 è un cubo perfetto.

 

Al contrario, poiché nella scomposizione di 250 compare un esponente che non è né 3 né un suo multiplo, esso non è un cubo perfetto.

 

La radice cubica di un cubo perfetto si ottiene dividendo per 3 gli esponenti dei fattori che compaiono nella scomposizione. Così, essendo ad esempio

 

\begin{array}{r|l} {\color{Red}3375} & 5 \\ 675 & 5 \\ 135 & 5 \\ 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1  \end{array} \ \ \ \mbox{ovvero} \ 3375=3^3 \times 5^3 \ \mbox{allora} \ \sqrt[3]{3375}=3 \times 5 = 15 

 

Radice cubica approssimata

 

Abbiamo appena visto che se un numero non è un cubo perfetto, allora non ne esiste la radice cubica esatta. In questi casi possiamo procedere calcolando la radice cubica approssimata all'unità. Vediamone un esempio:

 

Radice cubica approssimata

 

Dove il simbolo \simeq indica per l'appunto un'approssimazione.

 

2 è la radice terza di 18 approssimata per difetto a meno di un'unità, cioè è il numero intero più grande che elevato alla terza ci dà un numero che non supera 18, infatti 23=8<18; d'altra parte 3 è la radice terza di 18 approssimata per eccesso a meno di una unità, ossia il numero intero più piccolo che elevato alla terza ci dà un numero che supera 18, infatti 33=27>18.

 

Questo ci basta per concludere che la radice cubica di 18 è un numero compreso tra 2 e 3. Non ci credete? Prendiamo per un momento la calcolatrice e calcoliamo la radice cubica di 18 verrà fuori

 

\sqrt{18}=2,62074139...

 

ovvero, come ci aspettavamo, un numero decimale compreso tra 2 e 3.

 

Radice cubica di una frazione

 

Se avete già studiato le frazioni, sappiate che è possibile calcolare anche la radice cubica di una frazione. Per farlo però è necessario distinguere due casi.

 

 

1) Se numeratore e denominatore sono due cubi perfetti, allora la radice cubica è ancora una frazione avente come numeratore la radice terza del numeratore e come denominatore la radice terza del denominatore, ossia:

 

\sqrt[3]{\frac{\mbox{numeratore}}{\mbox{denominatore}}}=\frac{\sqrt[3]{\mbox{numeratore}}}{\sqrt[3]{\mbox{denominatore}}}

 

Ad esempio

 

\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{1}{3}

 

\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{5}{2}

 

 

2) Se entrambi o uno tra numeratore e denominatore non è un cubo perfetto, per calcolare la radice cubica della frazione occorre dapprima eseguire la divisione tra numeratore e denominatore e successivamente estrarre la radice cubica del numero decimale ottenuto. In questo caso non possiamo far altro se non ricorrere alla calcolatrice o alle tavole numeriche (niente di diverso da quanto visto per le radici quadrate con le tavole numeriche).

 

Radice cubica di un numero negativo

 

A differenza della radice quadrata, la radice cubica può essere calcolata per qualsiasi numero, positivo o negativo. Diremo quindi, per il momento, che la radice è un'operazione definita nell'insieme dei numeri razionali***.

 

Per calcolare la radice cubica di un numero negativo non c'è niente di nuovo da fare rispetto a quanto visto fin qui per i numeri positivi. Semplicemente, la radice cubica di un numero negativo è a sua volta un numero negativo tale che, elevato alla terza, ci dà il numero di partenza.

 

Ad esempio

 

\sqrt[3]{-8}=-2 \ \ \ \sqrt[3]{-64}=-4 \ \ \ \sqrt[3]{-\frac{125}{27}}=-\frac{5}{3}

 

 


 

***A rigor di cronaca è bene dire che l'operazione di radice cubica è definita nell'insieme dei numeri reali o, ancor più in generale, si può parlare anche di radice cubica di un numero complesso. Ricordiamo però che questa lezione è stata pensata per i ragazzi di scuola media ecco perché abbiamo preferito fermarci a considerare l'insieme dei numeri razionali.

 


 

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Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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