Proprietà della divisione

Le proprietà della divisione sono le proprietà algebriche dell'operazione di divisione tra due numeri, e sono essenzialmente due: la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione.

 

Dopo aver visto le proprietà della moltiplicazione è giunto il momento di analizzare le proprietà di cui gode la divisione. Come ormai avrete capito, partiremo dapprima dai numeri naturali; nella parte finale della lezione, rivolta ai più grandicelli, passeremo agli altri insiemi numerici e le sorprese non mancheranno. ;)

 

Nota bene: qui su YM è presente una guida didattica sulla divisione nella sezione dedicata scuola primaria.

 

Le proprietà della divisione: quali sono e come si usano

 

Se lavoriamo con i numeri naturali o, più in generale, con i numeri interi relativi, la divisione gode di due proprietà: la proprietà invariantiva e la proprietà distributiva. Vediamo come sono definite ed impariamo ad utilizzarle.

 

 

La prima proprietà della divisione è la proprietà invariantiva: in una divisione possiamo moltiplicare o dividere sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero senza alterare il risultato della divisione.

 

Vediamo un esempio. Per trovare il risultato della divisione tra 75 e 25 possiamo eseguire direttamente la divisione così come visto nelle operazioni tra numeri naturali, ottenendo

 

75:25 = 3

 

In alternativa, osservando che sia il 75 che il 25 sono divisibili per 5 (criteri di divisibilità) possiamo dividerli entrambi per 5:

 

75:5=15, \ \ 25:5=5

 

Successivamente possiamo dividere i due risultati ottenuti grazie alla proprietà invariantiva della divisione, ovviamente senza che venga alterato il quoziente:

 

15:5 = 3

 

 

La seconda proprietà della divisione è la proprietà distributiva: dividere una somma (o una differenza) per un numero equivale a dividere tutti i termini della somma (o della differenza) per quel numero, per poi addizionare (o sottrarre) i risultati ottenuti.

 

Vediamo subito qualche esempio. Consideriamo la seguente divisione eseguendo le operazioni nell'ordine in cui compaiono

 

(16+18-4):2 = (34-4):2 = 30:2 = 15

 

In alternativa possiamo sfruttare la proprietà distributiva e, prima di tutto, dividere ciascun numero all'interno delle parentesi tonde per 2

 

16:2 = 8; \ \ 18:2=9; \ \ 4:2 = 2

 

per poi eseguire il calcolo tra i risultati ottenuti

 

8+9-2=15

 

In un colpo solo:

 

(16+18-4):2 = (16:2)+(18:2)-(4:2) = 8+9-2=15

 

Proprietà di cui non gode la divisione

 

La divisione non gode né della proprietà commutativa né della proprietà associativa. Per convincervi di questo fatto possiamo considerare qualche esempio.

 

Sappiamo che

 

20:10=2

 

ma cosa succede se proviamo ad applicare la proprietà commutativa, e quindi a scambiare il dividendo con il divisore? In tal caso avremo

 

10:20

 

che non fornisce come risultato un numero intero, non essendo il 10 un multiplo del 20.

 

 

Allo stesso modo, se abbiamo una catena di divisioni

 

8:2:2

 

e le eseguiamo nell'ordine in cui compaiono (come previsto dall'ordine delle operazioni) abbiamo

 

8:2:2 = \underbrace{4}_{8:2}:2 = 2

 

Se invece proviamo ad applicare la proprietà associativa e quindi a calcolare prima la divisione tra gli ultimi due, per poi dividere il primo numero per il risultato ottenuto vien fuori

 

8:2:2 = 8:\underbrace{1}_{2:2} = 8

 

che è errato!

 

Proprietà della divisione nell'insieme dei numeri razionali

 

Una volta introdotto l'insieme dei numeri razionali, cioè dopo aver imparato ad eseguire le operazioni con le frazioni, possiamo pensare alla divisione tra due numeri come al prodotto tra il primo ed il reciproco del secondo.

 

Ad esempio:

 

20:10

 

lo possiamo vedere come il prodotto tra 20 ed il reciproco di 10, ovvero

 

20:10 = 20 \cdot \frac{1}{10}=2

 

Ragionando in questo modo, ovvero intendendo la divisione tra numeri come il prodotto tra il dividendo ed il reciproco del divisore, avremo a che fare con le proprietà della moltiplicazione viste nella lezione precedente. Sorprendente, vero? :)

 

 


 

 

Abbiamo finito. In caso di domande o perplessità varie potete utilizzare la barra di ricerca interna e trovare tutte le risposte ai vostri dubbi, oltre a tantissimi esercizi svolti! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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