Proprietà della moltiplicazione

Le proprietà della moltiplicazione sono le proprietà algebriche di cui gode l'operazione di moltiplicazione tra due o più numeri. Esse sono in tutto 6: le proprietà commutativa, associativa, dissociativa, distributiva, l'esistenza dell'elemento neutro e l'esistenza di un inverso moliplicativo.

 

Vediamo qui ed ora le proprietà di cui gode la moltiplicazione. Oltre ad elencarle ne daremo un'esauriente spiegazione corredata da esempi. Inoltre, vi mostreremo la grande utilità delle proprietà della moltiplicazione soprattutto quando ci proponiamo o siamo costretti a fare i conti senza la calcolatrice.

 

Nota bene: chiunque fosse interessato può consultare la guida didattica sulla moltiplicazione dedicata alla scuola primaria.

 

Le proprietà della moltiplicazione: quali sono e come si usano

 

Sappiamo bene che esistono diversi insiemi numerici su cui poter eseguire la moltiplicazione tra due o più numeri. È bene sapere anche che, ai fini della validità delle proprietà della moltiplicazione, non ha importanza l'ambiente di lavoro; che siano numeri naturali, numeri decimali, frazioni, numeri irrazionali o, più in generale, numeri reali poco importa.

 

 

La prima proprietà della moltiplicazione che enunciamo è la proprietà commutativa: variando l'ordine dei fattori il risultato non cambia.

 

In parole povere, se dobbiamo moltiplicare due numeri possiamo cambiare l'ordine con cui eseguire la moltiplicazione.

 

Per capirci consideriamo i due numeri naturali 2 e 3.

 

Come possiamo osservare sulla retta orientata eseguire la moltiplicazione 2 \times 3, cioè sommare il 2 per se stesso per 3 volte (segmenti blu) equivale ad eseguire il prodotto 3 \times 2 cioè a sommare il 3 per se stesso per 2 volte (segmenti verdi).

 

 

Proprietà commutativa della moltiplicazione

 

 

 Possiamo quindi scrivere

 

2 \times 3 =3 \times 2=6

 

il che, in fin dei conti, è proprio ciò che ci assicura la proprietà commutativa della moltiplicazione.

 

Se vogliamo esprimerci in termini puramente matematici possiamo scrivere

 

 

a\times b=b\times a, \ \mbox{oppure} \ a \cdot b =b \cdot a

 

 

dove a e b stanno ad indicare due qualsiasi numeri.

 

 

La seconda proprietà della moltiplicazione è la proprietà associativa: la moltiplicazione tra tre (o più) numeri non cambia se a due (o più) di essi si sostituisce il loro prodotto.

 

Ad esempio per calcolare

 

14 \times 15 \times 2

 

possiamo eseguire le due moltiplicazioni nell'ordine in cui compaiono, ovvero

 

\underbrace{14 \times 15}_{210} \times 2=210 \cdot 2=420

 

oppure sfruttare la proprietà associativa ed eseguire prima il prodotto tra 15 e 2 e moltiplicare il risultato per 14.

 

In questo modo il calcolo risulterà più semplice, infatti

 

14 \times \underbrace{15\times 2}_{30}=14 \times 30=420

 

Notate che la prima moltiplicazione per 2 è immediata e la seconda, essendoci come fattore un 30, è molto più semplice. Basta infatti moltiplicare il 14 per 3 e poi aggiungere uno zero al risultato.

 

Volendo esprimere con le nostre tanto amate formule la proprietà associativa della moltiplicazione:

 

 

(a \times b)\times c=a\times (b\times c)

 

 

dove, ormai dovreste averlo capito, a, b e c rappresentano tre qualsiasi numeri.

 

 

Prima di procedere vogliamo mettere in chiaro una cosa. Quella che tra poco vedremo non è una vera e propria proprietà della moltiplicazione in quanto può essere vista come una rilettura della proprietà associativa. Su molti libri scolastici è però presentata in questo modo e noi, per completezza, abbiamo deciso di riportarla così. Starà poi al vostro professore la scelta di presentarvela nell'uno o nell'altro modo.

 

La terza proprietà della moltiplicazione è la proprietà dissociativa: il prodotto di due o più fattori non cambia se al posto di uno o più di essi se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito.

 

Potrebbe sembrare difficile, ma quello appena visto è un potentissimo strumento di calcolo. Non ci credete? Supponiamo di non poter utilizzare la calcolatrice e di non ricordare come si eseguono le moltiplicazioni in colonna tra numeri naturali. Dobbiamo però calcolare il seguente prodotto 

 

45 \times 160

 

Potendo, evidentemente, scrivere il numero 160 come il prodotto tra 10 e 16 abbiamo

 

45 \times 160 = 45 \times 10 \times 16 = \underbrace{450}_{45 \times 10} \times 16

 

Ancora, poiché 16 si può pensare come il prodotto tra 2 ed 8

 

45 \times 160 = 450 \times 16 = 450 \times 2 \times 8 = \underbrace{900}_{450 \times 2} \times 8 = 7200

 

Abbiamo quindi calcolato il risultato di una moltiplicazione all'apparenza difficile da svolgere senza calcolatrice o senza ricorrere al calcolo in colonna, semplicemente utilizzando le proprietà della moltiplicazione.

 

 

La quarta proprietà della moltiplicazione è la proprietà distributiva: moltiplicare un numero per una somma (o differenza) equivale a moltiplicare il numero per i termini della somma (o differenza), per poi addizionare (o sottrarre) i risultati ottenuti.

 

Ad esempio, per trovare il risultato di

 

7 \times (9+3-1) 

 

possiamo prima eseguire le operazioni all'interno delle tonde e poi moltiplicare il risultato ottenuto per 7, cioè seguire l'ordine delle operazioni

 

7 \times (9+3-1)= 7 \times 11 = 77

 

oppure, grazie alla proprietà distributiva, si può moltiplicare ciascun termine per 7 e poi eseguire le restanti operazioni

 

7 \times (9+3-1) = 63 + 21 - 7 = 77

 

Come potete notare il risultato a cui si giunge è lo stesso. 

 

Volendo esprimere la proprietà distributiva con una formula, indicati con a, b e c tre generici numeri, abbiamo:

 

 

a \times (b\pm c) = (a \times b) \pm (a \times c)

 

 

Tale proprietà, all'apparenza, sembra complicare i calcoli. Nonostante ciò è una tra le proprietà più usate e ne apprezzerete le sue potenzialità soprattutto quando avrete a che fare con il calcolo letterale. Ne abbiamo parlato approfonditamente nella lezione ad essa dedicata e che potete raggiungere con un click sul nome ;)

 

 

La quinta proprietà della moltiplicazione è l'esistenza dell'elemento neutro: moltiplicando qualsiasi numero per 1 si ottiene il numero stesso. Il numero 1 si dice quindi elemento neutro della moltiplicazione.

 

23 \times 1=23; \ 1\times 12 \times 3 = 12 \times 3 = 36

 

Volendo, come di consueto, esprimere l'esistenza dell'elemento neutro in formule, diremo che, per ogni numero a:

 

 

1 \times a = a

 

 

La sesta proprietà della moltiplicazione riguarda la moltiplicazione per zero: moltiplicando qualsiasi numero per zero, si ottiene zero, ovvero per ogni numero a:

 

 

a \times 0 = 0

 

 

Viceversa, se il prodotto (risultato di una moltiplicazione) è zero, necessariamente uno dei fattori dovrà essere zero.

 

Nota: apprezzerete molto la proprietà appena vista quando avrete a che fare con le equazioni; la legge di annullamento del prodotto si basa proprio su di essa!

 

 


 

 

Gli esempi fatti finora sono stati fatti con i soli numeri naturali per favorire i ragazzi di Prima Media che non hanno ancora studiato gli altri insiemi numerici. Ribadiamo però, ancora una volta, che le proprietà della moltiplicazione fin qui enunciate valgono per qualunque insieme numerico si considera, a partire dai numeri naturali, per poi passare alle frazioni e fino ed arrivare ai numeri irrazionali.

 

Fa eccezione solo l'esistenza dell'inverso moltiplicativo che vale a patto di lavorare almeno nell'insieme dei numeri razionali.

 

La settima proprietà della moltiplicazione è l'esistenza dell'inverso: dato un qualsiasi numero ne esiste sempre un altro (ed è unico) che, moltiplicato con il primo, dà come risultato 1 (ovvero l'elemento neutro). Tale elemento prende il nome di inverso moltiplicativo e altro non è se non il reciproco del numero che stiamo considerando.

 

Così, ad esempio, ricordando come si eseguono le operazioni tra frazioni

 

\frac{1}{3} è l'inverso moltiplicativo di 3, in quanto 3 \cdot \frac{1}{3}=1;

 

-\frac{2}{5} è l'inverso moltiplicativo di -\frac{5}{2}, infatti \left(-\frac{2}{5}\right) \cdot \left(-\frac{5}{2}\right)=1;

 

Capirete bene che, se non lavoriamo nell'insieme dei numeri razionali ma ci limitiamo all'insieme dei numeri interi relativi, fatta eccezione per \pm 1 nessun altro numero intero ammette inverso moltiplicativo.

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, o se dovessero servirvi degli esercizi svolti, vi consigliamo di fare buon uso della barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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